高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用学案 新人教A版选修.doc

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1、1.7定积分的简单应用[思考1]　如图①②③是由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(aa)所围成的平面图形，如何利用定积分求图形的面积S?名师指津：图④中S＝[f(x)－g(x)]dx；图⑤中S＝[f(x)－g(x)]dx.讲一讲1．计算曲线y＝x2－2x＋

2、3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．(链接教材P56－例1)[尝试解答]　由解得x＝0或x＝3.如图．因此所求图形的面积为S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝(－x2＋3x)dx＝＝.求不分割型图形面积的一般步骤如下：同时，要注意被积函数是图形上边界对应的函数与下边界对应的函数的差．否则，有可能得面积是负的．练一练1．求曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．解：作图，并由解得交点(0,1)．所求面积为(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)＝e＋－

3、2.[思考]　下图是由三条曲线y＝f(x)、y＝g(x)和y＝h(x)围成的图形，且在[a，c]上，f(x)≥g(x)，在[c，b]上，f(x)≥h(x)．还能用[讲1]的方法求该图形的面积吗？如果不能，该如何求解？名师指津：不能．S＝[f(x)－g(x)]dx＋[f(x)－h(x)]dx.讲一讲2．(链接教材P57－例2)求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．[尝试解答]　画出草图，如图所示．解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．＝dx＋dx＝＋＝＋＋6－×9－2＋＝

4、.法二：若选y为积分变量，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．＝－(－2＋1)＋2－－＝.由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的曲线有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由上减下．若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，被积函数改为y的函数，同时更改积分的上下限．练一练2．求曲线xy＝1及直线y

5、＝x，y＝3所围成图形的面积．解：如图所示，由得A点坐标为(1,1)；由得B点坐标为；由得C点坐标为(3,3)．法一：以x为积分变量，所求阴影部分的面积为＝2－ln3＋2＝4－ln3.法二：以y为积分变量，所求阴影部分的面积为S＝dy＝＝4－ln3.[思考]　若做变速直线运动的物体的速度函数为v＝v(t)(v(t)≥0)，则它在t＝a到t＝b(b>a)的时间段内所经过的路程s是多少？提示：s＝v(t)dt.讲一讲3．(链接教材P58－例3)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速

6、度的正方向与x轴正方向一致)．求：(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．[尝试解答]　(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P移动的路程＝－＝.当t＝6时，点P的位移为即4t2－t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．做变速直线运动的物体，从时刻t＝a到时刻t＝

7、b(a

8、秒末所在的位置x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝1＋＝1＋2－＝.所以物体在2秒钟内所走的路程为2，所在的位置为x1＝.[思考]　如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a