高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用教学案 新人教A版选修.doc

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1、1.7　预习课本P56～59，思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？　(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？　　　　　1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S.f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)≥0S＝f(x)dxf(x)<0S＝－f(x)dx(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a，b]上有f(x)>g(x)，那么直线x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面

2、图形的面积为S＝[f(x)－g(x)]dx.[点睛]　　对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.3．力做功(1)恒力做功：一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s，则力F所做的功为W＝Fs.(

3、2)变力做功：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a

4、v(t)

5、dt.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为x3dx＋(2－x)dx.(　　)(2)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形面积为

6、(4－x2)dx.(　　)(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．(　　)(4)一个物体在2≤t≤4时，运动速度为v(t)＝t2－4t，则它在这段时间内行驶的路程为(t2－4t)dt.(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．曲线y＝cosx与坐标轴所围成的图形面积是(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．3C.D．4答案：B3．已知做自由落体运动的物体的速度为v＝gt，则物体从t＝0到t＝t0所走过的路程为(　　)A.gtB.gtC.gtD.gt答案：C4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车从刹车到停

7、车所前进的路程为________．答案：405利用定积分求平面图形的面积[典例]　求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．[解]　先求抛物线和直线的交点，解方程组求出交点坐标为A(2,2)和B(8，－4)．法一：选x为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S＝S1＋S2＝2dx＋dx＝x＋＝18.法二：选y作积分变量，则y的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S＝－4dy＝＝18.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定

8、积分上限和积分下限．(3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单．(4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．　　　　　　[活学活用]求曲线y＝ex，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积．解：如图，由解得交点为(0,1)，所求面积为S＝(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)＝e＋－2.求变速直线运动的路程、位移[典例]　有一动点P从原点出发沿x轴运动，在时刻为t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴

9、正方向一致)．求(1)t＝6时，点P离开原点后运动的路程和点P的位移；(2)经过时间t后又返回原点时的t值．[解]　(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点沿x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点后运动的路程s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt＝－＝.当t＝6时，点P的位移为(8t－2t2)dt＝＝0.(2)依题意，(8t－2t2)dt＝0，即4t2－t3＝0，解得t＝0或t＝6，因为t＝0对应于点P刚开始从原点出发的情况，所以t＝6为所求，(1)用定积分解决变速直线运动的

10、位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度