高中数学第一章导数及其应用1.7第1课时定积分的简单应用学案新人教A版选修.doc

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1、1.7第一课时定积分的简单应用一、课前准备1.课时目标1.在理解定积分的概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法．2.掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积.3.会用定积分解决简单的物理问题．(如变力做功、变速运动等)2.基础预探1．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图1，当f(x)>0时，f(x)dx________0，所以S＝________；(2)如图2，当f(x)<0时，f(x)dx________0，所以S＝

2、f(x)dx

3、＝________；(3)如图3，当a≤x≤c时，f(x)<0，f(x)dx___

4、_____0；当c≤x≤b时，f(x)>0，f(x)dx________0，所以S＝

5、f(x)dx

6、＋f(x)dx＝________＋________.(4)如图4，在公共积分区间[a，b]上，当f1(x)>f2(x)时，曲边梯形的面积为S＝(f1(x)－f2(x))dx＝________.2.作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即________________.3.如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a

7、)，那么变力F(x)所作的功为________________.二、学习引领1．关于定积分几何意义的补充定积分f(x)dx，

8、f(x)

9、dx与

10、f(x)dx

11、的几何意义不同，绝不能等同看待，由于被积函数f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，因而它的图象可都在x轴的上方，也可都在x轴的下方，还可以在x轴的上下两侧，所以f(x)dx表示x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b所围成的曲边梯形的面积的代数和；而被积函数

12、f(x)

13、是非负的，所以

14、f(x)

15、dx表示在区间[a，b]上以

16、f(x)

17、为曲边的曲边梯形的面积，而

18、f(x)dx

19、则是f(

20、x)dx的绝对值，三者的值一般是不相同的.2．利用定积分求曲线所围成平面图形面积的步骤(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点的坐标，直线与曲线交点的横坐标是确定积分区间的关键点；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。3.变速运动路程、位移的积分求法路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′分别为(1)若v(t)≥0(a≤t≤b)，则s＝v(t)dt；s′＝v(t)dt.(2)若v(t)≤0(a≤t≤b)，则s＝－v(t)dt；s′＝v(t)dt.(3)在区间[a

21、，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0，则s＝v(t)dt－v(t)dt；s′＝v(t)dt.4.变力做功的积分求法(1)求变力做功，要根据物理的实际意义，求出变力F的表达式．(2)由功的定义，物体在变力F(x)的作用下，沿F(x)的方向移动叫直线运动，从x＝a移至x＝b(a

22、作出图形，按照x的取值将图形合理地分割为几部分，然后建立积分区间求值。方法2：根据y的取值，直接建立积分式求解。解析：解法一：如下图所示，解方程组得交点A(2，－2)、B(8,4)，所求面积S可分为S1与S2两部分．S1＝[－(－)]dx＝2dx＝2××x

23、＝.S2＝[－(x－4)]dx＝.于是，S＝S1＋S2＝＋＝18.解法二：选取y为积分变量，有S＝[(y＋4)－y2]dy＝y2

24、＋4y

25、－y3

26、＝18.归纳总结：本题综合考查了定积分求“曲边梯形”的面积等知识，灵活运用“分割法”转化为直边多边形和曲边多边形的面积是解题的关键．变式训练：由

27、两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．例2　列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a(t)＝－0.4tm/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离站多远处开始制动？(精确到0.1m)思路导析：做变速直线运动的物体，位移s对时间t的导数s′(t)是瞬时速度v(t)，速度v对时间t的导数v′(t)是瞬时加速度a(t)．反过来，位移就是对速度的定积分，速度就是对加速度的定积分，利用这个原理可以解决本题。解析：(1)由题v′(t)＝a(t)，∴a(t)dt＝v(t)

28、，∴v(t)＝v(0)＋a(t)d

29、t.∴v＝v0＋(－0.4t)dt.因v0＝72km/h＝20m/s.∴v＝20－0.4tdt＝20－0.2t2

30、＝20－0.2t2，令v＝0，解得t＝10s.(2