广东高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念1学案

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1、3.1.1数系的扩充和复数的概念【学习目标】1.理解复数的有关概念以及符号表示;2.掌握复数的代数表示形式及其有关概念.【重点难点】重点:引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念.难点:复数概念的理解.【学习过程】一.课前预习阅读教材的内容,了解复数概念的建立过程,并注意一下问题:1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的?(1)自然数:计数需要.(2)负数:表示相反意义的量、计数需要.(3)分数:整数集中不能整除.(4)无理数:开方开不尽.2.数系的扩充过程:用

2、图形表示包含关系:自然数集,,整数集,有理数集,实数集.3.每次数系的扩充,解决了什么问题?(1)分数的引入,解决了在自然数集中不能整除的矛盾.(2)负数的引入,解决了在正有理数集中不够减的矛盾.(3)无理数的引入,解决了开方开不尽的矛盾.(4)在实数集范围内,负数不能开平方,我们要引入什么数,才能解决这个矛盾呢?例如,在实数范围内,方程无解,那么在什么范围内才有解?二.课堂学习与研讨1.独立思考·解决问题1.实系数一元二次方程没有实数根.实际上,就是在实数范围内,没有一个实数的平方会等于负数.要解决这一问题,最根

3、本的问题是要解决3的开平方问题.即一个什么样的数,它的平方会等于.2.根据前面讨论结果,我们引入一个新数,叫做,并规定:(1);(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.这样,就可以解决前面提出的问题(-1可以开平方,而且-1的平方根是).3.复数的概念:根据虚数单位的第(2)条性质,可以与实数相乘,再与实数相加.由于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成,数的范围又扩充了,出现了形如的数,我们把它们叫做复数;叫做,叫做;这种形式的复数叫做复数的.全体复数所形成的集合叫做复

4、数集,一般用字母表示,有:.4.实数、虚数、纯虚数:对于复数,当且仅当时,它是;当且仅当,它是实数0;当时,叫做;当,时,叫做.5.复数相等的充要条件:在复数集中任取两个复数:,,,规定:且.2.师生探索,合作交流例1.当为何实数时,复数是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;动动手:1.下列数中,哪些是复数,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么?(1);(2);(3),(4);(5).2.已知复数,当为何值时,是虚数?是纯虚数?3例2.已知,其中,,求与.动动手:已知,求

5、实数的值.3.达标检测(1)已知,则分别是________________.(2)若是纯虚数,则的值为_________________.(3)若,则实数的值是.4.归纳与小结(1)在中,实部是,虚部是,易错为虚部是;(2)两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等;(3)在复数集中,如果两个复数中至少有一个是虚数,则这两个数不能比较大小,只有这两个数都是实数才可以比较大小.3

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