立体几何平行与垂直经典证明题

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1、新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形是空间四边形，分别是边的中点（1）求证：EFGH是平行四边形AHGFEDCB（2）若BD=，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。证明：在中，∵分别是的中点∴同理，∴∴四边形是平行四边形。(2)90°30°考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形中，，是的中点。求证：（1）平面CDE;AEDBC（2）平面平面。证明：（1）同理，又∵∴平面（2）由（1）有平面又∵平面，∴平面平面考点：线面垂直，面面垂直的判定A

2、1ED1C1B1DCBA3、如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。证明：连接交于，连接，∵为的中点，为的中点∴为三角形的中位线∴又在平面内，在平面外∴平面。考点：线面平行的判定4、已知中,面,,求证：面．证明：°又面面又面考点：线面垂直的判定5、已知正方体，是底对角线的交点.求证：(１)C1O∥面；(2)面．证明：（1）连结，设，连结∵是正方体是平行四边形∴A1C1∥AC且又分别是的中点，∴O1C1∥AO且是平行四边形面，面∴C1O∥面（2）面又，同理可证，又面考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判

3、定.A1AB1BC1CD1DGEF7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BDË平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．从而得B1E∥A

4、G，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，又∴，∴在中，∴，∴，又，即，∴平面考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，（1）求证：；（2）当，时，求的长。证明：（1）取的中点，连结，∵是的中点，∴，∵平面，∴平面∴是在平面内的射影，取的中点，连结，∵∴，又，∴[来源:学§

5、科§网]∴，∴，由三垂线定理得（2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴考点：三垂线定理10、如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面.证明：∵、分别是、的中点，∥又平面，平面∥平面∵四边形为平行四边形，∥又平面，平面∥平面，平面∥平面考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在正方体中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.证明：（1）设，∵、分别是、的中点，∥又平面，平面，∥平面（2）∵平面，平面，又，，平面，平面，平面平面考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

6、12、已知是矩形，平面，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角．证明：在中，，∵平面，平面，又，平面（2）为与平面所成的角在，，在中，在中，，考点：线面垂直的判定,构造直角三角形13、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．（1）若为的中点，求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角的大小．证明：（1）为等边三角形且为的中点，又平面平面，平面（2）是等边三角形且为的中点，且，，平面，平面，（3）由，∥，又，∥，为二面角的平面角在中，，考点：线面垂直的判定,构造直

7、角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图1,在正方体中，为的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD．证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，∴DB⊥平面，而平面∴DB⊥．设正方体棱长为，则，．在Rt△中，．∵，∴．∵OM∩DB=O，∴⊥平面MBD．考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵，∴．∵，∴．又，∴平面CDF．∵

8、平面CDF，∴．又，，　∴平面ABE，．∵，，，∴平面BCD．考点：线面垂直的判定16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D证明：连结AC∴AC为A1C在平面AC上的射影考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平