立体几何垂直证明题常见模型与方法

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1、立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）等腰（等边）三角形中的中线菱形（正方形）的对角线互相垂直勾股定理中的三角形1:

2、1:2的直角梯形中利用相似或全等证明直角。例：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1在正四面体ABCD中，求证变式1如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知．证明：；变式2如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△AED,△DCF分别沿折起，使两点重合于.求证:；变式3如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º证明：AB⊥PC类型二：线面垂直证明方法利用线面垂直的判断定理例2：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：变式1：在正方体中，,求证

3、：变式2：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.求证：CD⊥平面A1ABB1；DACOBE变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求证：平面BCD；变式4如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，平面．，，，求证：平面利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，,，。方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1,在四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证：变式2：类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂

4、直)ABCDEF例1如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；例2如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．（1）证明；（2）证明平面；变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；举一反三1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：①②③b∥M④b⊥M.其中正确的命题是()A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是()A.若一条直线垂直于一个平面内的

5、两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()第3题图A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.设a、

6、b是异面直线，下列命题正确的是()A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为()A.1B.2C.D.7.有三个命题：①垂直于同一个平面

7、的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是()A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合C.α与β必相交且交线m与d一定不平行D.α与β不一定相交9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题

8、的序号是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确