2013立体几何垂直与平行专题

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1、经典讲解立体几何垂直与平行习题1．如图，三棱柱的所有棱长都相等，且底面，为的中点，与相交于点，连结，（1）求证：平面；（2）求证：平面。2．已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形,设D为AA1的中点。CABC1AB13ABC主视图左视图俯视图（1）作出该几何体的直观图并求其体积；（2）求证：平面平面；（3）边上是否存在点，使平面？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。83．如图，在底面是正方形的四棱锥中，，。（1）证明平面；（2）已知点在上，且，点为棱的中点，证明平面；（3）求四面体的体

2、积．ＢＡＤＣＦＥ4．如图所示，四边形为矩形，平面，为上的点，，为上的点，且平面（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积。85.如图，正四棱柱的侧棱长为，底面边长为，是棱的中点。（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.6.如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，（1）求证：面；ABCDA1B1C1D1FM（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；（3）求三棱锥的体积.87.如图，在矩形中，，、分别为线段、的中点，⊥平面.（1）求证:∥平面；（2）求证:平面⊥平面

3、；（3）若，求三棱锥的体积.8.如图（1）是一正方体的表面展开图，和是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将和画出来，并就这个正方体解决下面问题。（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求和平面所成的角的大小（选做）．81．证明：（1）取的中点，连结、，可以证明，故平面.（2）由题意四边形是正方形，则.连结、，易证得≌，故，又为的中点，故，∴平面2（1）解：由题意可知该几何体为直三棱柱，其直观图（略）∵几何体的底面积，高，故几何体的体积（2）证明：连结交于点，则为与的中点，连结。∵，，，∴≌，∴，∴。同

4、理，∴平面，∴平面⊥平面。（3）解：取的中点，连结，则平面，下面加以证明：连结，则与平行且相等，∴四边形为平行四边形，∴，∴平面。3．（1）证明：因为在正方形中∴可得在中，。所以，同理可得，故平面（2）取中点，连接，，连接交于，连接，∵、分别是、的中点，∴，∴平面，又是的中点，故，∴平面，故平面平面∴平面（3）连接，则，因为平面，则平面所以，又的面积为，故四面体的体积．8ＢＡＤＣＦＥ4．（1）证明：∵平面，，∴平面，则又平面，则[来源:学科网ZXXK]平面（2）证明：由题意可得是的中点，连接平面，则，而，

5、是中点在中，，平面（3）解：平面，，而平面，平面是中点，是中点，且，平面，，中，，。5．（1）证明：连接交于，连结，在正四棱柱中，底面四边形为矩形，∴为的中点.[来源:Z&xx&k.Com]又为的中点，故.∴平面.（2）连结，，又的面积为.故三棱锥的体积.6.（1）证明：连结、交于点，再连结，，且，又，故且，四边形是平行四边形，故，平面。8ABCDA1B1C1D1FMOE（2）平面，下面加以证明：在底面菱形中，又平面，面，平面，，平面。（3）过点作，垂足，平面，平面，平面，在中，，，故，。7.（1）证明:

6、在矩形中，，∴与平行且相等，故四边形为平行四边形.故，故平面.（2）证明：∵平面，平面，∴.∵，为的中点，∴.连结,∴四边形为正方形，故.∴平面.∵平面.∴平面⊥平面.（3）解：∵⊥平面∴为三棱锥的高，所以.8.解：和的位置如右图所示；（1）由与平行且相等，得四边形为平行四边形∴∵平面，故平面。（2）∵平面，平面，∴8又在正方形中，故平面，平面，故，同理可得，故平面（3）连结交于点，由，，，得平面，连结，则为和平面所成的角。在中，故.即和平面所成的角为。8