无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法

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1、第六章　无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法6.1引言6.2全通系统6.4用模拟滤波器设计IIR数字滤波器6.5冲激响应不变法6.7双线性变换法数字滤波器的设计一般包括：（1）按照任务要求确定滤波器的性能要求（2）用系统函数去逼近这一性能的要求（3）利用有限精度算法来实现这个系统函数（4）实际的技术实现本章主要讨论逼迫性性能要求或系统函数的设计问题。6.1引言α1：通带容限α2：阻带容限ωc:通带截止频率ωst:阻带截止频率π2π0π2π0π2π03ππ02ππ2π0低通高通带通带阻全通频率变量是以数字频率ω来表示，因此数字域的抽样频率为2π。根据抽样定理，频率特性只能

2、限于

3、ω

4、<ωs/2=π数字滤波器的系统函数为H(z)，它在Z平面单位圆上的值就是滤波器频率响应H(ejω)。表征数字滤波器频率响应特性的三个参量是幅度平方响应、相位响应、群延迟1.幅度平方响应由于　　　　　的极点既是共轭的，又是以单位圆对称的，故只取单位圆内的极点作为　　的极点。这是根据傅立叶变换的性质（P73），当h(n)为实序列的时，满足2.相位响应由于所以由于所以又有3.群延迟响应它是滤波器平均延迟的一个度量可以化为由于所以因而又有同样可化为当滤波器为线性相位响应特性时，则通带内延迟特性为常数。IIR滤波器逼迫问题IIR系统函数就是去求出滤波器的各系数　　，使得在规定意义上(

5、如通带起伏及阻带衰减的要求或采用最优化准则)，逼近所要求特性。在z平面上逼近，得到数字滤波器。设计方法：（1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足指标的数字滤波器。（2）计算机辅助设计方法。6.3全通系统定义：是指系统频率响应的幅度在所有频率ω下均为1或某一常数的系统。满足简单一阶全通系统函数零极点图a1/a1-1jIm[z]Re[z]高阶有理全通系统由一串一阶系统组成，可以包含实零点－实极点系统；还可以包括复数零点－复数极点系统；多个这两类系统的级联就组成一个高阶全通网络系统。复数零点－复数极点的全通节的系统函数a1/a*1-1jIm[z]Re[z]一般来说，N阶数字全通系统

6、的系统函数频率响应的模都为1。证明：N阶全通系统函数为式中当　　　时，满足所以有全通系统应用（1）任何一个因果稳定的（非最小相位延时）系统的H(z)都可以表示为全通系统　　　和最小相位延时系统　　　的时延。它们频率响应的幅度相同，相位不同。即证明：设一个因果稳定的非最小相位延时系统H(z)为（6.24）将6.24式表示为由于　　　，所以　　　　　　　　　是最小相位延时，　　　　　　是全通级联。所以可表示为（2）如果设计出的滤波器是非稳定的，则可用级联全通函数的办法将它变成一个稳定系统。例：原滤波器有一对极点在单位圆外级联一个全通系统则可将单位圆外极点抵消，但不改变系统幅度特性。（3）

7、可以作为相位均衡器（群时延均衡器）用，来得到线性相位，但不改变幅度特性。IIR滤波器其相位特性为非线性的，因而群延时不为常数，而在视频信号的传输中希望系统具有线性相位。设全通滤波器为　　　，系统为　　　级联后H(z)即相位关系按　　　　　　得当通带中满足　　　　　　是常数则逼近误差的平方值利用均方误差最小的准则就可以求得均衡器有关的参数。6.4用模拟滤波器设计IIR数字滤波器方法：利用模拟滤波器设计数字滤波器就是要把s平面映射到z平面，使模拟系统函数　　变换成所需的数字滤波器的系统函数　　。基本要求：（1）　　的频响特性应能模仿　　的频率响应（2）因果稳定的　　就能映射成因果稳定几种

8、映射方法：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法。6.5冲激响应不变法一、变换原理冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应　　。即抽样满足抽样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系z=est从S平面变换到Z平面的变换关系。z=rejωs=σ+jΩtz=rejω=e(σ+jΩ)t=eσte+jΩtr=eσtω=ΩTS平面Z平面3π/Tπ/T-π/T-3π/T001-1σjΩjIm[z]Re[z]二、混叠失真数字滤波器和模拟滤波器频率响应之间关系只有当才能在折叠频率内重现模拟滤波器响应而不产生混叠失真，即注意：（1）模拟滤波器频率响应在

9、折叠频率以上衰减快、大，变换后混叠失真越小。（2）当　　增加，可减小混叠效应。（3）当滤波器指标用数字域　给定时，若不变，用减小T的方法就不能解决混叠问题。三、模拟滤波器的数字化方法设模拟滤波器的系统函数　　只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次。展开部分分式其相应的冲激响应　　是　　的拉普拉斯变换即对h(n)求z变换，得数字滤波器系统函数和H(z)比较结果分析：（1）s平面的单极点　　　变换到z平面上处的单极点。（2）两者部分分式的系数是相同的，都