第六章--无限长单位冲激响应(iir)数字滤波器的设计方法

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1、数字信号处理第六章　无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法6.1引言6.2最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前系统6.3全通系统6.4用模拟滤波器设计IIR数字滤波器6.5冲激响应不变法6.6阶跃响应不变法6.7双线性变换法本章主要讨论逼迫性性能要求或系统函数的设计问题。数字滤波器按频率特性划分为为低通、高通、带通、带阻、全通等。其理想幅度频率响应如图6.1。数字滤波器在复频率响应　　下三个参量分析：1.幅度平方响应(6.3)由于　　　　　的极点既是共轭的，又是以单位圆对称的，故只取单位圆内的极点作为　　的极点。如果选　　　　　在z平面单位圆的零点作为　　零点，

2、则得到是最小相位延迟滤波器。2.相位响应由于（6.4）所以　　　　　　　　　　　　　　　　（6.5）由于所以又有（6.6）3.群延迟响应它是滤波器平均延迟的一个度量（6.7）可以化为（6.8）由于所以因而又有（6.9）同样可化为（6.10）当滤波器为线性相位响应特性时，则通带内延迟特性为常数。IIR滤波器逼迫问题IIR系统函数（6.11）就是去求出滤波器的各系数　　，使得在规定意义上，逼近所要求特性。在z平面上逼近，得到数字滤波器。设计方法：（1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足指标的数字滤波器。（2）计算机辅助设计方法。6.2最小与最大　相位延时系统，最小与最大相位

3、超前系统任一个线性时不变系统，其系统函数为（6.12）系统频率响应表达式（6.13）我们对　　进行研究。的模为（6.14）其相角为（6.15）若　　　　　分别表示单位圆内外的零极点数则注：零（极）矢是指零（极）点指向z平面单位圆上频率点的矢量。当　从0到　　时，只有单位圆内的零极点对相角有影响。零点、极点的分布对系统相角影响的讨论（1）对因果稳定系统，此时当　从0变到　　时，　　　　　则辐角变化量它称为相位延时系统。a当全部零点在单位圆内，即　　　　　　有其相位变化最小，称为最小相位系统。b当全部零点在单位圆外，即　　　　　　　有这时相位变化最大，又是负数，即最大相位延时系统，

4、是因果稳定系统。（2）对逆因果移动系统，此时当　从0变到　　时，　　　　，则辐角变化量为称为相位超前系统。a当全部零点在单位圆内时，即　　　　　有这时相位变化最大，称最大相位超前系统，是逆因果稳定系统。b当全部零点在单位圆外时即　　　　　　有这时相位超前最小，称最小相位超前系统，是逆因果移动系统。表6.1四种系统及其因果性、稳定性、零点、极点的关系。最小相位系统重要性质（1）在傅里叶变换　　相同的所有系统中，它的负相位最小。（2）最小相位系统能量集中在n=0附近。（3）相同傅里叶变换幅度的各序列，最小相位序列的　　　最大。（4）在幅度响应　　　相同的系统中，只有唯一的一个最小相

5、位延时系统。（5）利用级联全通的方法，可将最小相位系统的零点反射到单位圆外，构成幅度响应相同的非最小相位延时系统。6.3全通系统定义：是指系统频率响应的幅度在所有频率下均为1或某一常数的系统。满足简单一阶全通系统函数A为实数　　（6.16）零极点如图6.3高阶全通系统包含实零点－实极点系统；还包括复数零点－极点系统；复数零点－极点的全通节的系统函数a为实数　（6.17）如图6.4所示。当h(n)是实函数，因而其系统函数的复数极点零点必须共轭出现。实系数有理二阶全能系统函数（6.18）如图6.5。一般来说，N阶数字全通系统的系统函数频率响应的模都为1。证明：N阶全通系统函数为式中

6、当　　　时，满足（6.21）所以有　　　　　　　　　　　　　（6.22）全通系统应用（1）任何一个因果稳定的（非最小相位延时）系统的H(z)都可以表示为全通系统　　　和最小相位延时系统　　　的时延。（6.24）它们频率响应的相位相同，相位不同。即（6.25）证明：设一个因果稳定的非最小相位延时系统H(z)为（6.24）将6.24式表示为（6.25）由于　　　，所以　　　　　　　　　是最小相位延时，　　　　　　　是全通级联。所以可表示为6.23式。（2）如果设计出的滤波器是非稳定的，则可用级联全通函数的办法将它变成一个稳定系统。例：原滤波器有一对极点在单位圆外级联一个全通系统则可

7、将单位圆外极点抵消，但不改变系统幅度特性。（3）可以作为相位均衡器（群时延均衡器）用，来得到线性相位，但不改变幅度特性。设全通滤波器为　　　，系统为　　　级联后H(z)即相位关系按　　　　　　得当通带中满足　　　　　　是常数则逼近误差的平方值6.4用模拟滤波器设计IIR数字滤波器方法：利用模拟滤波器设计数字滤波器就是要把s平面映射到z平面，使模拟系统函数　　变换成所需的数字滤波器的系统函数　　。基本要求：（1）　　的频响特性应能模仿　　的频率响应（2）因果稳定的　　就能映射成因果稳定几种映射