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时间:2018-05-12
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1、数字信号处理第六章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法6.1引言6.2最小与最大相位延时系统,最小与最大相位超前系统6.3全通系统6.4用模拟滤波器设计IIR数字滤波器6.5冲激响应不变法6.6阶跃响应不变法6.7双线性变换法本章主要讨论逼迫性性能要求或系统函数的设计问题。数字滤波器按频率特性划分为为低通、高通、带通、带阻、全通等。其理想幅度频率响应如图6.1。数字滤波器在复频率响应 下三个参量分析:1.幅度平方响应(6.3)由于 的极点既是共轭的,又是以单位圆对称的,故只取单位圆内的极点作为 的极点。如果选 在z平面单位圆的零点作为 零点,
2、则得到是最小相位延迟滤波器。2.相位响应由于(6.4)所以 (6.5)由于所以又有(6.6)3.群延迟响应它是滤波器平均延迟的一个度量(6.7)可以化为(6.8)由于所以因而又有(6.9)同样可化为(6.10)当滤波器为线性相位响应特性时,则通带内延迟特性为常数。IIR滤波器逼迫问题IIR系统函数(6.11)就是去求出滤波器的各系数 ,使得在规定意义上,逼近所要求特性。在z平面上逼近,得到数字滤波器。设计方法:(1)先设计一个合适的模拟滤波器,然后变换成满足指标的数字滤波器。(2)计算机辅助设计方法。6.2最小与最大 相位延时系统,最小与最大相位
3、超前系统任一个线性时不变系统,其系统函数为(6.12)系统频率响应表达式(6.13)我们对 进行研究。的模为(6.14)其相角为(6.15)若 分别表示单位圆内外的零极点数则注:零(极)矢是指零(极)点指向z平面单位圆上频率点的矢量。当 从0到 时,只有单位圆内的零极点对相角有影响。零点、极点的分布对系统相角影响的讨论(1)对因果稳定系统,此时当 从0变到 时, 则辐角变化量它称为相位延时系统。a当全部零点在单位圆内,即 有其相位变化最小,称为最小相位系统。b当全部零点在单位圆外,即 有这时相位变化最大,又是负数,即最大相位延时系统,
4、是因果稳定系统。(2)对逆因果移动系统,此时当 从0变到 时, ,则辐角变化量为称为相位超前系统。a当全部零点在单位圆内时,即 有这时相位变化最大,称最大相位超前系统,是逆因果稳定系统。b当全部零点在单位圆外时即 有这时相位超前最小,称最小相位超前系统,是逆因果移动系统。表6.1四种系统及其因果性、稳定性、零点、极点的关系。最小相位系统重要性质(1)在傅里叶变换 相同的所有系统中,它的负相位最小。(2)最小相位系统能量集中在n=0附近。(3)相同傅里叶变换幅度的各序列,最小相位序列的 最大。(4)在幅度响应 相同的系统中,只有唯一的一个最小相
5、位延时系统。(5)利用级联全通的方法,可将最小相位系统的零点反射到单位圆外,构成幅度响应相同的非最小相位延时系统。6.3全通系统定义:是指系统频率响应的幅度在所有频率下均为1或某一常数的系统。满足简单一阶全通系统函数A为实数 (6.16)零极点如图6.3高阶全通系统包含实零点-实极点系统;还包括复数零点-极点系统;复数零点-极点的全通节的系统函数a为实数 (6.17)如图6.4所示。当h(n)是实函数,因而其系统函数的复数极点零点必须共轭出现。实系数有理二阶全能系统函数(6.18)如图6.5。一般来说,N阶数字全通系统的系统函数频率响应的模都为1。证明:N阶全通系统函数为式中
6、当 时,满足(6.21)所以有 (6.22)全通系统应用(1)任何一个因果稳定的(非最小相位延时)系统的H(z)都可以表示为全通系统 和最小相位延时系统 的时延。(6.24)它们频率响应的相位相同,相位不同。即(6.25)证明:设一个因果稳定的非最小相位延时系统H(z)为(6.24)将6.24式表示为(6.25)由于 ,所以 是最小相位延时, 是全通级联。所以可表示为6.23式。(2)如果设计出的滤波器是非稳定的,则可用级联全通函数的办法将它变成一个稳定系统。例:原滤波器有一对极点在单位圆外级联一个全通系统则可
7、将单位圆外极点抵消,但不改变系统幅度特性。(3)可以作为相位均衡器(群时延均衡器)用,来得到线性相位,但不改变幅度特性。设全通滤波器为 ,系统为 级联后H(z)即相位关系按 得当通带中满足 是常数则逼近误差的平方值6.4用模拟滤波器设计IIR数字滤波器方法:利用模拟滤波器设计数字滤波器就是要把s平面映射到z平面,使模拟系统函数 变换成所需的数字滤波器的系统函数 。基本要求:(1) 的频响特性应能模仿 的频率响应(2)因果稳定的 就能映射成因果稳定几种映射
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