无限长单位冲激响应iir数字滤波器的设计方法

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1、第6章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法6.1引言6.2IIR滤波器设计的特点6.3常用模拟低通滤波器的设计方法6.1引言6.1.1选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中,数字滤波器是使用最广泛的线性系统。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性移不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。由第1章1.3节已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位冲激响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应

2、y(n)为将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y(ejω)、X(ejω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数，H(ejω)是系统的频率响应函数。可以看出，输入序列的频谱X(ejω)经过滤波后，变为X(ejω)H(ejω)。如果

3、H(ejω)

4、的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ejω)，使得滤波后的X(ejω)H(ejω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、

5、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图6-1所示。（系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的。)图6-1数字滤波器的理想幅频特性满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于

6、ω

7、<π的范围。由图6-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在ωc<ω≤π范围内所有分量全部滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在ωc≤ω≤π范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于ωc的低频分量。带通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。6.1.2滤波器的技术指标理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的，

8、其单位冲激响应从-∞延伸到+∞，因此，无论用递归还是非递归方法，理想滤波器是不能实现的，但在概念上极为重要。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图6-2（称容限图）所示，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。图中α1为通带的容限，α2为阻带的容限。图6-2低通滤波器频率响应幅度特性的容限图在通带内，幅度响应以最大误差±α1逼近于1，即在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即ωst≤

9、ω

10、≤π

11、ω

12、≤ωc式中，ωc,ωst分别为通带截

13、止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。幅度响应在过渡带（ωst−ωc）中从通带平滑地下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。虽然给出了通带的容限α1及阻带的容限α2，但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）δ1和阻带应达到的最小衰减δ2描述，δ1及δ2的定义分别为：（6-2a）（6-2b）式中，假定

14、H(ej0)

15、=1(已被归一化)。例如

16、H(ejω)

17、在ωc处满足

18、H(ejωc)

19、=0.707，则δ1=3dB；在ωst处满足

20、H(ejωst)

21、=0.001，则δ2=60dB（参考图6-2）。(注：lg是log1

22、0的规范符号表示。)6.1.3DF频率特性它是由三个参量来表征：1.幅度平方响应2.相位响应3.群延时1.幅度平方响应2.相位响应3.群延时它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即：6.1.4滤波器的设计步骤①按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标。②用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。根据不同要求可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近。③利用有限精度算法来实现这个系统函数。这里包括选择运算结构（如第5章中的各种基本结构），选择合适的字长（第9章中包括系数

23、量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等。6.2IIR滤波器设计的特点IIR滤波器的系统函数用极、零点表示如下：一般满足M≤N，这类系统称为N阶系统，当M>N时，H(z)可看成是一个N阶IIR子系统与一个(M-N)阶的FIR子系统的级联。以下讨论都假定M≤N。IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：1）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足预定指标的数字滤波器

24、。这种方法很方便，因为模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便又准确。2）最优化设计法最优化设计法一般分两步来进行:第一步要选择一种最优准则。例如，选择最小均方误差准则。它是指在一组离