方法3.2 换元法（讲）-2017年高考数学（文）二轮复习讲练测（原卷版）

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1、方法二换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.纵观近几年高考对于转化与化归思想的的考查，换元法是转化与化归思想中考查的重点和热点之一.换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理.换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联

2、系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.主要考查运用换元法处理以函数、三角、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程.要用好换元法要求学生有较强转化与化归意识、严谨治学态度和准确的计算能力.从实际教学来看，换元法是学生掌握最为模糊，知道方法但不会灵活运用的方法.分析原因，除了换元法比较灵活外，主要是学生没有真正掌握换元法的类型和运用其解题的题型与解题规律，以至于遇到需要换元的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现换元法的类型与相关

3、题型作以总结和方法的探讨.换元的常见方法有：局部换元、三角换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型：[来源:Z&xx&k.Com]1、局部换元局部换元是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.1.1对于形如的值域（最值）问题，令，化为一元二次函数在某个区间上的值域（最值）问题处理.例1．【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）】对任意不等式恒成立,则实数的取值范围是．1.2、分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)；例2．【2016湖南六校联考】已知分别为椭圆的左、右顶点，不同两点在椭圆上，且关于轴对称，

4、设直线的斜率分别为，则当取最小值时，椭圆的离心率为（）名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！A．B．C．D．1.3、常数换元[来源:学科网ZXXK]例3.【2016届高三·金华十校联考】sin50°(1＋tan10°)＝__________.1.4.复合函数中的换元例4.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数，，其中且，．（I）若，且时，的最小值是－2,求实数的值；（II）若，且时，有恒成立，求实数的取值范围.1.5.局部换元法与不等式局部换元法在解关于某个函数的不等式和复杂的不等式证明中，经常用到，通过换元将复杂的不等式问题转化为简单不等式、超越不等

5、式化为一般不等式，将不熟悉的不等式问题转化为熟悉的不等式问题,如在解可化为形式为不等式时，常令，将复杂不等式化为一元二次不等式，解出t的范围，再解不等式关于的简单不等式.例5.已知函数(1)当时,求函数在上的极值;(2)证明:当时,;(3)证明:.1.6局部换元法与数列在已知数列递推公式求出通项公式中，常用到构造等比或等差数列法，其实质就是换元法，证明与数列有关的不等式，其实质就是求数列的最值，也常用到换元法.[来源:学*科*网]例6.【广东省韶关市十校2016届高三联考】已知在数列中，，当时，其前项和满足。(Ⅰ)求的表达式；(Ⅱ)设，数列的前项和．证明1.7局部换元法与圆锥曲线联系对

6、圆锥曲线的最值问题或取值范围问题，常转化为函数的最值问题，当函数解析式较为复杂时，常用换元法进行转化.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！例7.【河南省天一大联考2017届高中毕业班阶段性测试（二）】等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点，，△的面积是16，抛物线的焦点为，若是抛物线上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．例8.【2016届高三·杭州二模】平面内动点P(x，y)与两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点直线交曲线E于M，N两点．2、三角换元在求函数值域（最值）或不等式证明中，若变量范围为（0,1）或[-1,1]，利用

7、与三角函数值域相似性，可设或；若二元函数二元满足的条件可化为平方和为1的形式,利用与正余弦的平方和为1的相似性，可以用三角代换，化二元函数为三角函数的值域（最值）问题求解，把二元函数化为一元函数，把不熟悉的二元函数函数问题转化为熟悉的三角函数问题，实质上圆的参数方程，椭圆的参数方程就是三角代换，利用三角换元，可以去根号，也可以把二元函数化为一元函数求解.如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值