复变函数复习经典x

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1、-p

2、为f(z)在z0的导数，记作如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。(3)Δz=Δx+iΔy注：(2)判断函数在不可导的方法:(3)求导法则①复常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).③设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g(z)，其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单

3、值的反函数，且(w)0。二.解析函数的概念1.定义如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。思考：可导与解析有何关系？如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。定理1（四则运算法则）设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f(z)±g(z)，f(z)g(z)及f(z)g(z)(g(z)≠0时)均是D内的解析函数。2.解析函数的运算：定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定

4、义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程推论：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充分条件是u(x,y)和v(x,y)在一阶D内具有连续偏导数且满足Cauchy-Riemann方程例4判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)u=x,v=-y则1.指数函数2.对数函数3.三角函数和双曲函数4.

5、乘幂与幂函数5.反三角函数与反双曲函数§2.3初等函数一.指数函数1.指数函数的定义2.指数函数的性质二.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，1.对数函数的定义分支2.对数函数的性质例解：三.三角函数和双曲函数定义1.正余弦函数的定义2.正弦与余弦函数的性质例如四.乘幂与幂函数1.乘幂ab定义解例4—一般无穷多值（1）多值性(2)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a的n次幂意义一致。(3)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a的n次根意义一致。2.性质3.幂函数zb定义4.性质：定理一解析函数的构造:方法：偏积分法、不定积分法、曲线积分法、凑全微分法偏积

6、分法:例2解不定积分法例2积分性质本章要点：解析函数的积分计算(P79例，P83例1，P86例，P89例1)定理二定理三定义：定理四定理五3.收敛半径的求法定理三(根值法)定理二(比值法)一些常用函数的泰勒展开式：