正余弦定理完美教案

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1、正余弦定理教案教学标题正余弦定理及其应用教学目标熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式会用正余弦定理解三角形会做综合性题目教学重难点正弦定理、余弦定理的综合应用授课内容：梳理知识1．正弦定理:或变形：.2．余弦定理：或.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解

2、题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：.典型例题探究点一　正弦定理的应用例1　(1)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求角A、C和边c；(2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c.解题导引　已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC中．已知a、b和A，求B.若A为锐角，①当a≥b时，有一解；②当a＝bsinA时，有一解；③当bsinA

3、当ab时，有一解；②当a≤b时，无解．解　(1)由正弦定理＝得，sinA＝.∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.综上，A＝60°，C＝75°，c＝，或A＝120°，C＝15°，c＝.(2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.由正弦定理＝＝，得b＝＝4，c＝＝4＋4.∴b＝4，c＝4＋4.变式迁移1　(1)在△ABC中，若tanA＝，

4、C＝150°，BC＝1，则AB＝________；(2)在△ABC中，若a＝50，b＝25，A＝45°，则B＝________.探究点二　余弦定理的应用例2　已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)若c＝3a，求tanA的值．解　(1)∵a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝＝.∵0

5、c2－b2＝ac，得b＝a.由正弦定理，得sinB＝sinA.由(1)知，B＝，∴sinA＝.又b＝a>a，∴B>A，∴cosA＝＝.∴tanA＝＝.方法三　∵c＝3a，由正弦定理，得sinC＝3sinA.∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A，∴sin(－A)＝3sinA，∴sincosA－cossinA＝3sinA，∴cosA＋sinA＝3sinA，∴5sinA＝cosA，∴tanA＝＝.变式迁移2　在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝，b＝，a＋c＝4，求a.探究点三　正、余弦定理的综合应用例3　在△A

6、BC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．解题导引　利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解　方法一　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)⇔a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB(si

7、nAcosA－sinBcosB)＝0，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．方法二　同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得a2b×＝b2a×，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移3　在△ABC中，＝.(1)证明：B＝C；(2)若cosA＝－，求sin的值．课堂练习一

8、、选择题(每小题5分，共25分)1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于(　　)A．－B.C．－D.2.在△ABC中AB＝3，AC=2，BC=，则等于(　　)A．－B．－C.D.3．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A．正三角形B．直角三