正余弦定理总结

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1、正余弦定理知识点总结:一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理闪容a=b=C=2RsinAsinBsinCa~=b方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a(如图②)注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达鬥称方向；②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向;+c~-2/?cHosA,b2=c2+a2-2accos5

2、，c2=a2+b2-2abcosC.形式变形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=-^-,sinB=-^-,sinC=-^-;2R27?2R③a:b:c=sinA:sinB:sinC;a+b+ca④=sin?!+sin5+sinCsin?!.b~+c2-a22bcD“2+dcosS=;2cacosC=•lab解决①己知两角和任一边，求另一角和其他两条边；①已知三边，求各角；的问②己知两边和其中一边的对角，求另一边和其他②己知两角和它们的夹角，求题两角。第三边和其他两个角。注：在

3、AABC中，sinA〉sinB是A〉B的充要条件。(•.•sinA>sinB<=>-^―><=>a>b<=>A>B)27?27?二、应用举例1、实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角(如图①)③南偏本等其他方向角类似。(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角0为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，/为坡比)2、△ABC的面积公式(1)5=丄60、队表示“边上的高)；2(2)S=丄“Z?sinC==丄/?csin

4、J=4^(7?为外接圆半径);22247?(3)S=丄r(a+6+c)(r为内切圆半径)。考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用［［伊11H(11浙江文)在A45C中，角及5，C所对的边分若t/cos>/=6sin5,则sindcosA+cosa+b+csinJ+sinB+sinCsin//-^3X12sinC=^.B1A.—2B.C.-1D.1答案.•D吻变式训练1.在ZU及7中，sin2A

5、案••C解析：由sin2A-,V()

6、,JE(0，180。)，/.sin.答案yio2Id正弦定理知一.sinCIXsin150oy/TbsinAsinCs

7、inABCABVTo104.在/f=60°,♦，/j=12,5•△腋=18,则n+b+csinJ+sin^+sinC6^312.•/S^abc=}^absinsinCsinA=12，"c—6.△ABCA.—定是锐角三角形.C.一定是钝角三角形.（2）在锐角中，BC=｛，厶=2儿则ACcosA的值等于..，的取值范围；/义解析：由正弦定理得ACBCACsin2Jsin?T1.AC2sirt4cos3_sirU•"cosA=2.7/ABC是锐角三角23(1)(10上海文)若△/I5C的三个内角满足sind:s

8、in5:sinC=5:ll:13则B.—定是直角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由sinJ:sin5:sinC=5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:1352+112—1由余弦定理得=——<0,所以角C为钝角2x5x11形，〈专,0<2A<^f0<7t_3/4<曼，解得牙.由JC=2cos/（得JC的取值范围为（七，V^）.答案：2（^2,y/3）jy变式训练1.在△擺中，若cosAcosBcosC则△崖是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案

9、B解析由正弦定理知:sinAsinBsinCcosAcosBcosC••tan/4:=tanB—tanC，••A'=,―C.2.在AJ说屮，siny4=~,a=10，则边长c的取值范围是（）A.I*,+°°B.(10，+C.(0,10)D.0,40'T答案D解析403.在a=2bcosa则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形I).等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理：sin/I=2sin/fcosC,