数学毕业论文 讨论一元高次方程的根

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1、2014届本科毕业论文(设计)题目:讨论一元高次方程的根学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名：帕提古丽·玉山指导教师：艾合买提老师答辩日期：2014年5月新疆师范大学教务处新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）目录引言31.二次方程的求根公式32.三次方程的求根公式32.1形如的一元三次方程的解法32.2一般一元三次方程的解法52.3根与系数的关系63.一元四次方程的解法84.几类特殊高次方程的解法115.高次方程的近似值115.1牛顿切线法125.2二分法12总结13参考文献13致谢141新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）讨论一元高

2、次方程的根摘要：本文中介绍一元三次方程解的卡丹公式和一般形式的一元三次方程的解法，即判断根的各种情形且求解，还介绍解一元四次方程的方法。讨论了几类特殊五次以上的代数方程的根及其近似根的过程。关键词：一元二次方程；一元三次方程；一元四次方程；卡丹公式；判别式；近似值；高次方程。1新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）引言一元高次方程作为方程的一部分，对我们以后的学习起着相当重要的作用。关于一元高次方程，我们在中学阶段，已将掌握了一元二次方程的公式解法；一般三次方程的解法思想是先化为缺项的三次方程，再做变换转换为二次方程来求解。一般四次方程的解法也是转换为缺项的四次方程

3、。二,三,四次方程的根的表达式以及根与系数之间的关系都已经很成熟.但求五次及五次以上的高次方程的根式解法,数学家们经历了一个非常艰难的过程。对于一般的高于五次的方程没有一般的根式解法。第一个证明“高于四次方程不能用根号求解”的是挪威数学家阿贝尔。数学家们转而研究特殊的高次方程,他们能用方程系数的代数式来表示。在一般情况下，一般的高于五次的方程求出精确根是很困难的，而且科学研究、工程技术和实际应用中，也没有必要求出精确根，只要求出根的近似值。代数基本定理：每个次数的复系数多项式在复数域中有一根。1.二次方程的求根公式（1）一元二次方程一般形式：。（2）一元二次方程根的表达

4、式（3）一元二次方程根与系数的关系：（4）判别式当，方程有两个不相等的实根。当，方程有两个相等的实根。当，方程有两个复根。2.三次方程的求根公式2.1形如的一元三次方程的解法设有方程（1）我们令并代入方程（1）得展开并整理得到（2）13新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）为了减少（2）中的未知数，不妨设从而（2）变为即根据伟大定理可知是二次方程的两个根，解这个二次方程得从而有，，，，其中，因此方程三个解的公式是：这个公式叫做卡丹（cardan）公式.下面讨论根的情况：由以上可得一元三次方程的判别式：由此可知决定了根的性质：13新疆师范大学2014届本科毕业论文（设

5、计）（1）当时，是不相等的两个实数，原方程（1）有一个实根和两个共轭虚根，即（2）当时，，原方程（1）有三个实根，并且其中两个相等，即（3）当时，和都是复数，并且共轭复数，即时原方程有三个互异的实根，它们是：，，2.2一般一元三次方程的解法设有一般地一元三次方程（1）对它进行化简，目标是将它的二次项系数化为零。令，其中是一个待定常数并代入(1)得展开并整理得到取（2）把（2）代入（1）得13新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）即（3）.其中，只要解出（3）的解，利用变化（2）就可以知道方程（1）的解.根据形如的一元三次方程的解法可以知道方程（3）的三个解的值。又由

6、得到原方程的三个根.由以上的讨论可知方程的解法步骤：(1)由的值求或代入原方程得写出的值，且写出。(2)计算判别式与其中根据的值计算出的解。(3)把的值代入得到原方程的三个根。2.3根与系数的关系,,例1.解出方程.解：（1）由已知得13新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）且（2）且即即由可知原方程有一个实根，两个共轭虚根，即（3）由得到原方程的三个根：，，，.例2.解方程解法（一）：（1）由已知得且，（2）因此原方程有三个实根，其中两个相等，即13新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）（3）由得到原方程的三个根是：，解法（二），因式分解得（)3.一元四次方程

7、的解法设有方程（1）令，并代入原方程消去三次项得（2）设其中系数是待定常数，通过比较系数得13新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）（3）若，则，此时方程是双二次方程，很容易解出若时可解得（4）于是（5）设是该方程的任意一个根，则由（4）有，从而方程（2）变为分别解方程和即可得方程（2）的解，并进一步得到方程（1）的解.例3.解方程.解：令并代入所给的方程，化简得（1）设因为，于是有13新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）得取，，因此方程（1）可写成由解得由解得由得原方程的四个根：，，.阿贝尔定理：13新疆师范大学2014届本科