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1、第6卷第3期Vol.6No.3金华职业技术学院学报2006年6月Jun.2006一元三次方程根的分布李密(阜新高等专科学校,辽宁阜新123000)摘要:本文介绍了一元三次方程一般式化为标准式的方法,并结合图形给出了标准式的实数根的分布情况,从而解决了任意一元三次方程的实数根的分布的问题。关键词:一元三次方程;系数;根中图分类号:O151文献标识码:A文章编号:1671-3699(2006)03-0065-02TheDistributionoftheRootoftheSimpleCubicEquationLIMi(FuxinHigherProfessionalCollgeg,F
2、uxin123000,China)Abstract:Thispaperintroducesthemethodfromgeneralitytostandardizationofthesimplecubicequation,andshowstheillustrateddistributionofstandardizedrealroot,solvingthedistributionproblemofoptionalsimplecubicequation'srealroot.Keywords:simplecubicequation;modulus;root3根据代数学基本定理可知,实
3、系数的一元三次则方程(1)化成标准式x′+px′+q=0.方程可见,任何一个一元三次方程都可按上述方法32x+bx+cx+d=0(1)化为标准式(2)的形式.正因如此,下面只需讨论方必有一个或三个实数根,本文将讨论一元三次程(2)的根的分布.3方程的根的分布情况.设g(x)=x+px+q.(1)式是一元三次方程的一般式,它一定可以(1)当p>0时,2化为标准式:g′(x)=3x+p≥0(等号至多在个别点成立),3x+px+q=0(2)所以g(x)在(-∞,+∞)内严格递增且连续,又事实上,设g(-∞)=-∞,g(+∞)=+∞,故g(x)只有一个零点,即32f(x)=x+bx+
4、cx+d方程(2)有一个实根.b此函数在x0=-处有拐点,在这点处将f(x)展3开成泰勒级数,有bf′(-)b3bf(x)=f(-)+(x+)31!3bbf″(-)f!(-)3b23b3+(x+)+(x+)2!33!3322b-9bc+27d3c-bbb3=+(x+)+(x+)27333图123b3c-b2b-9bc+27d图(1)中的三条曲线分别为g(x)当q>0、q=0、令x′=x+,p=,q=,3327收稿日期:2005-03-21作者简介:李密(1965-),女,辽宁阜新人,讲师,主要从事数学及计算机的教学研究。66金华职业技术学院学报2006年q<0时的图象.曲线与
5、y轴的交点坐标为q,与x轴p2!33m=g()=-!p+q)的交点坐标即是方程(2)的根.!39因此,①当q>0时,方程(2)有一个负实根;上下平移曲线g(x),可知方程(2)的实根分布情况②当q=0时,方程(2)有一个零根;为:③当q<0时,方程(2)有一个正实根.①当q>0时,(2)当p<0时,若m>0,方程(2)仅有一个负实根;若m=0,方程(2)有一个负实根和一个正实根(二重);若m<0,方程(2)有一个负实根和两个正实根;②当q=0时,方程(2)有三个根,其中一个正根、一个负根、一个零;③当q<0时,若M>0,方程(2)有两个负实根和一个正实根;图2若M=0,方程(
6、2)有一个负实根(二重)和一个利用导数不难得知g(x)的图象如图(2)所示,极正实根;大值为若M<0,方程(2)仅有一个正实根.p2!33综合上述讨论内容,总结于下表1内:M=g(-=!p+q)!39至此,任意实系数的一元三次方程实数根的分极小值为布问题得到解决。表1一元三次方程根的分布p3+px+q=0的符号q的符号方程xq>0一个负实根p>0q=0一个零根q<0一个正实根m>0一个负实根q>0m=0一个负实根和一个正(二重)实根m<0一个负实根和两个正实根q=0一个负根、一个零根、一个正根M>0两个负实根和一个正实根p<0q<0M=0一个负(二重)实根和一个正实根M<0一
7、个正实根参考文献:[1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1985.[2]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:人民教育出版社,1980.[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1978.
