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1、借助二次函数的图象讨论一元二次方程的根王廷喜一、问题的提出“。,脚!∀#∃%(#我们对为什么实数时二次方程!&,十∋#∃十∋,一。,十∀粉的”,两个根为正实数)这一问题常常作如下解答,+,,若原方程有实根须判别式刁之∗又若两根皆为正数根据根与系数关系须两。,根之和与两根之积皆为正数据此可得不等式组刁2一3胡〔产、‘、了,%飞、‘/0−∀.、了、户少,厂一&1!∋#!4#∋1#之(一一#∗嗜黔石厂#。−羚·。一5一解得结果是正确的是“夸,,。但是利用上述方法处理下列两个问题情形便不相同“∃
2、,,”。”方程护!1一2#十一。一∗若二根都比2大求的范围一一。“一2“卜。朴4674,8”方程护的根都是绝对值不超过的实数试求的范围分别解不等式组’‘、矛了,4∗‘/9产、,‘刁一,一2#一3一1#全7了‘、产少代一1一2#:3处一胡:3解得仇5一3;28,了、了、了、.‘,94几、少,‘刁一3一3!4#之7,2,。2(三。!44贬<(三4一丫了一48解得552,。,’,。,只要稍加验证便可看出这两个解答都是错误的事实上场=一时第一个,2一&∃一,∃,一2,∃%二,,∃一2。方程化为卜
3、4∗二。其二根为显然是不大千2的同样可以验证第二个问题的解也是错误的。,,,由于在解答这两个问题时其条件不是结论的充要条件所以应用根与系数的关系讨。论系数含有一个参数的一元二次方程的根+就具有一定的局限性,。,借助于二次函数的图象来讨论这类问题可以避免这种局限性木文试就这方而‘的问题略逮摄见。、二原理和步骤,,一我们知道二元二次方程以2!>∃十二78尧∗#的实数根是函数?∃#二。≅2卜>∃十。∃。%Α8的图象即抛物线#与轴交点的横坐标抛物线了∃#68∃十∀#∃十的形状完全山决,,Β、,、,,,、。,
4、‘,,,、。,,9Χ一%>、238Α一护。Χ、一Χ。Α“,2定这是因为了∃#6口护十掀十8∃十!二其图象可由厂∃#二。的图声、一’‘’一‘《‘居冬】’共丁立,、、9卜产、一‘。产节一Χ”Δ一一838产刁“‘ΧΧΧ、%,Χ,。8。。,,。,象经过平移得到它的形状完全由决定当:∗时开口向上当57时开Ε∀向。下。∃#一。!。二十。的位置主要由顶点来控制它的顶点坐标为抛物线?一点、‘?子ΒΦ,Φ』,,二,,、Β‘Β、Β,8Α%。。,、一3一>、Χ一ΒΧ一一一,,。一Δ4二,刀9贝息拥正9抛初线的仪直扰侧正
5、9,“,,∃。现在我们来研究抛物线与轴相交不包括相切#的条件二“十!。∃8定理一抛物线?∃#。>∃与轴相交的充要条件是与其顶点纵坐标异号,Β、。Β9,。,,、,Χ,,礴38Α一护。Β八Χ。一8,Δ二ΔΧ。6扩一任8ΑΓ,月Χ「,刀十沙∃十‘一Η址明允分住右一了5Γ’即夕以力代犷马“—,。∃一定有不等实根即抛物线与轴一定相交。6名。∃,8“必要性设抛物线厂∃#8∃十>∃十与轴相交不包括相切#即方程38Α一乙2一刁Α,二护一3/,,∗,8!>∃!6/有不等实根判别式刁8Α:所以8,38一5即3与。抛
6、物线顶点纵坐标异号Ι,ϑ#5,·。≅’十。,。抢论若有实数使8,?。抛物线?∃’#十阮就必与轴相交一···’,8,,!二,Ι#5。证明当:/时黑兴卜去#!。#:,8,,∃#∗当5∗时业箭竺一一∃粼劲,,∃。8轴一定相交即与抛物线顶点纵坐标异号由定理一抛物线与Β,,。9。、、Β,,』,,,、Β,Β,,、Β38Κ一石2。。,二一ΒΧΔΔ,不丁Γ,川任夕ΑΓ,,∃,∗久“丫‘二、,右,巴9犷一二还盯砌物线坝息仕釉」二万程!权十口“Δ。有相等实根,“8Α一乙一,8进,8,,“一准。。Λ∗若:∗即
7、与抛物线顶点纵坐标同号这时显然有沙刁38。故抛物线与∃,方程8∃忿十>∃十。67无实根轴不相交二“十。二。,定理二方程了∃#。介十8今∗#在区间Ι帕内只有一个实根的充要条件是?。#·?伪#5∗,。证明充分性’,8,,,设厂ϑ#?口#57又今∗则8与?Ι#?Μ#二者之一异号由定理一的推?名,“7。∃,∃,论可知∃#图象必与轴相交即方程矛∃#必有两实根设此二根为二∃%,二二,“,。,,,∃,且5则厂#二8一∃#一#当:7时若?乡#:7?。#57则,5、4%,’,∃,
8、。,,∃,∃,5,5∃户5。#这时有ϑ月#,若??##57?匆##7则5ϑ5∃口#,,∃,∃%,。8这时有介。ϑ妇即方程矛约一/只有一个实根或在区间户妇内对5∗的情,。况可以同样讨论。艺!十。二,,必要性若方程厂∃#一8∃公∗在区间ϑ妇内只有一个实根不妨设∃。,叮,∃,∃%,∃8∃一∃∃一∃,一8一∃,ϑ#且5不包括相等实根#Λ#一##?ϑ#力#∃,8,
