华科线性代数课件第1章

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1、1《线性代数》上课时间:11-12学年度第一学期;9-18周周二周四上课地点:东九课程类型:必修(考试).教学方法:课堂授课.主讲教师:刘早清总学时数:402参考书:线性代数学习辅导与习题全解华中科大.二版高等教育出版社。作业：每周四交（以小班为单位、学习委员负责收）考试成绩：作业》（20%）+卷面《（80%）联系方式：问题及建议：liuzaoqing166@sina.com课件下载：liuzaoqing1688@sina.com(mm123456)3第一章行列式一.二（三）阶行列式二.余子式、代数余子式三.n阶行列式的定义四.行列式的性质

2、五.行列式按一列（行）展开六.Cramer法则行列式概念的形成行列式的基本性质及计算方法（定义）行列式的应用基本内容概要4§1.1行列式的定义1.1.1二阶行列式的定义求解二元线性方程组：由消元法，得得同理，得于是，当时，方程组有唯一解1.引入52.为便于记忆，引进记号称记号为二阶行列式数称为元素为行标，表明元素位于第行为列标，表明元素位于第列记号解读：6因此，上述二元线性方程组的解可表示为再记则7注：(1)二阶行列式算出来是一个数。(2)记忆方法：对角线法则主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积主对角线副对角线如：例181.1.1（补

3、充）三阶行列式定义将二阶行列式记号推广，记称为该数表所确定的三阶行列式.9注：(1)三阶行列式算出来也是一个数。(2)记忆方法：对角线法则三阶行列式的计算注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．10例：评注(1)此行列式中所有元素非零但行列式为零。(2)此行列式中行与行、列与列之间有规律。11规律：是3！个项的代数和每一项都是三个不同行、不同列的元素的乘积每一项都带有确定的符号考察通项：是1，2，3所有可能的排列。下面我们再来分析一般三阶行列式的规律。注：有了一般三阶行列式的定义后，也可以写出一般三元一次方程组的解的一般

4、公式。121.1.2n阶行列式的定义1.将上面的三阶行列式概念直接推广到n阶行列式有难处1）有多少项？2）每一项的构成？3）每一项的符号的确定？2.n阶行列式的记号3.余子式，代数余子式13定义：在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式叫做元素的余子式。记为称为元素的代数余子式。例如：14注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。154.n阶行列式的定义（值）（用归纳法）定义1.1当n=1时当n>1时16注（1）上述定义n阶行列式（值）依不依赖于列的选取？（否）（2）可不可以用行展开来定义n阶

5、行列式（可以）例当n=3时可以验证下列等式17同样也可以验证上述定义n阶行列式（值）也是不依赖于列（行）的选取18例2计算注：按第三行和第一列展开行列式计算简单19(1)(2)例3几个简单重要行列式：对角行列式：20(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）21定理1.1D为n阶行列式注：此定理叫行列式按列展开定理，同样行列式也可以按行展开22§1.2行列式的性质与计算1.2.1行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。称为D的转置行列式23证对行列式的阶数用数学归纳法当n=1时，结论

6、显然成立假设n-1时，结论成立，下证对n行列式结论亦成立。则记24将D依第j列展开，便有将D与分别对j和i从1到n求和得得即25说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质对列也成立，反之亦然。推论：行列式亦可按行展开26性质2：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。证明：设交换i、j两行，得i行j行27证对行列式的阶数用数学归纳法当n=2时，设是由行列式D交换第i行与第j行元素后得到的行列式，下证D=。对其阶数用数学归纳法结论成立.假设n-1时，结论成立，下证对n行列式结论亦成立。由于n=2时以证，假设n>2,则存在k(异于i,j)将D

7、与按第k行展开记由归纳假设以证28即有故推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为0。证明：把相同的两行互换，有D＝－D，所以D＝029性质3：用数k乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数k乘此行列式。推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面。推论：若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。30性质4：＋即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。31＝32性质5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素

8、上去，行列式的值不变。证明：33得34利用行列式性质计算：目标化为三角形行列式例4计算解：3536行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即性