华科数理方程课件第5章

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1、第五章贝塞尔(Bessel)函数5.1贝塞尔方程的导出设有半径为R的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。问题归结为求解如下定解问题：9/16/20211令：令：周期特征值问题的特征值和特征函数分别为n阶贝塞尔方程9/16/202125.2贝塞尔方程的求解假设n为实数,令由于，所以有为了方便求解贝塞尔方程，令：则n阶贝塞尔方程化为：9/16/20213情形1n不为整数和半奇数当c=n时,则有令于是,得到贝塞尔方程的一个特解(称为n阶第一类贝塞尔函数)当p为正整数时当p为负整

2、数或零时9/16/20214当c=-n时，令于是,得到贝塞尔方程的另一个特解(称为-n阶第一类贝塞尔函数)显然线性无关，于是n阶贝塞尔方程的通解为(称为n阶第二类贝塞尔函数(诺依曼函数))如果取,则得到方程的另一个与线性无关的特解于是,n阶贝塞尔方程的通解又可表示为9/16/20215情形2n为整数。线性相关。令可以证明线性无关的特解，是贝塞尔方程的与于是，此时n阶贝塞尔方程的通解为当时,有不妨设即直接计算可知是n阶Bessel方程的解，且此时所以，也是n阶Bessel方程的解。令l=m-n,得9/16/20216A、B为任意常数，n为任意

3、实数综上所述,n阶贝塞尔方程的两个线性无关特解：于是，n阶贝塞尔方程的通解为：情形3n为半奇数(类似讨论)9/16/20217性质1有界性性质2奇偶性5.3贝塞尔函数的性质当n为正整数时9/16/20218性质3递推性9/16/20219例1求下列微积分9/16/2021109/16/2021119/16/202112例2证明方程的解为证明9/16/202113性质4初值性质5零点有无穷多个对称分布的零点和的零点相间分布的零点趋于周期分布，9/16/202114性质6半奇数阶的贝塞尔函数9/16/202115性质7大宗量近似当x充分大时，有

4、进一步，有9/16/202116性质8正交性称n阶贝塞尔函数系在区间(0,R)上带权函数r正交：其中为n阶贝塞尔函数的零点，即为n阶贝塞尔函数的模。9/16/202117正交性的证明：先将n阶贝塞尔方程写成如下形式则有记于是取并利用即可证得结论。有关贝塞尔函数模的计算请大家自己完成。9/16/2021185.4傅立叶--贝塞尔级数定理如果在(0,R)内分段连续,且积分的值有限，则能展成傅立叶—贝塞尔级数：并且在的连续点,级数收敛于；而在的间断点，级数收敛于，其中9/16/202119例3：将1在区间内展成的级数形式.解，其中由于从而于是有9

5、/16/202120例4：将x在0

6、4从而，原定解问题的形式级数解为：由初始条件，有：于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为9/16/202125例2圆形薄盘上转动对称热传导问题设有半径为b的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布为，其中r为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。解以圆形薄膜的中心为原点，建立极坐标。于是有定解问题9/16/202126周期特征值问题的特征值和特征函数分别为类似轴对称情形,由分离变量法,令n阶贝塞尔方程的特征值问题于

7、是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的形式级数解为9/16/202127由初始条件得由傅里叶—贝塞尔级数的性质，得于是，有从而，原定解问题的形式级数解为：9/16/202128设有半径为R的圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初始速度为，试求该薄膜的振动规律。问题归结为求解如下定解问题：例3圆形薄膜轴对称振动问题9/16/202129令：零阶贝塞尔方程特征值问题综合得零阶贝塞尔方程特征值问题的特征值和特征函数分别为为1阶贝塞尔函数零阶贝塞尔方

8、程的非负零点，即其中9/16/202130于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为9/16/2021