数理方程第1讲

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1、数学物理方程第1讲第一章一些典型方程和定解条件的推导数学物理方程，是指在物理学、力学等自然科学及工程技术中所提出来的偏微分方程。拉普利斯方程和泊松方程(描述引力势)纳维-斯托克斯方程组(流体力学有黏性)和欧拉方程组(无黏性)圣维南方程组(弹性力学)波动方程热传导方程古典数理方程新的数理方程麦克斯韦方程组(描述电磁场变化)薛定谔方程组(微观粒子)爱因斯坦方程(确定引力场)广义扩散方程流体力学方程的耦合随着现代科学和技术的进步，将会不断涌现新的数学物理方程，而其产生和应用的范围已经更多地超出了传统的研究领域。§1.1偏

2、微分方程举例和基本概念一.偏微分方程举例二.基本概念1.偏微分方程：方程中除了含有几个自变量和未知函数外，还含有未知函数的偏导数(也可仅含偏导数)的方程称为偏微分方程。一般来说，它可以写成包含几个自变量x,y,…和这些变量的未知函数u及其偏导数的方程形式：(1.1)方程(1.1)是在自变量x1,x2,…的n维空间Rn中的一个适当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那么称它们为方程的解。在这些可能解中，我们还要选出一个满足某些合适的附加条件的特解来。例如偏微分

3、方程：容易验证下列两个函数：(1.2)都是(1.2)的解。2.方程的阶：包含在偏微分方程中的未知函数的偏导数的最高阶数称为方程的阶。3.线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程就称为线性偏微分方程。例如：书中例1.1、1.2(二阶线性偏微分方程)否则称之为非线性偏微分方程。书中例1.54.半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏微分方程。

4、如书中例1.65.拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微分方程。如书中例1.86.非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中，不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项，而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书中例1.1下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：与都称为微分算子。我们定义具有下列性质的算子为线性算子。(1)常数c可以

5、从算子中提取出来(2)算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分别作用于两个函数所得结果之和。现在来考察二阶线性偏微分方程：如果取线性微分算子L为那么上述偏微分方程可以写成：或者简写为：§1.2方程及定解问题的物理推导例1弦的振动设有一根均匀柔软的细弦,其线密度为常数.长为l,两端被固定在O,A两点，且在单位长度上受到垂直于OA向上的力F作用。当它在平衡位置（取为x轴）附近作垂直于OA方向的微小横向振动时，求弦上各点的运动规律。xOuAFPQxx+△x※所谓“横向”是指全部运动出现在一个平面上,而且弦上的点沿垂直

6、于x轴的方向运动.※所谓“微小”是指弦的振动幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小,即弦在偏离平衡位置后，弦上任何一点的斜率远小于1.xOuTaTPQNN'xx+△x△x横向振动微小，故可认为弦在振动过程中并未伸长，即弧长PQ=△x，则所受的张力大小恒为常数T，即与位置和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩，因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。F或综合上述分析，由牛顿第二定律可得又，故由于弦作微小振动，，则代入（1.3）式可得﹤﹤1其中。令，则上式可写为简写为其中方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程

7、。应用微分中值定理可得若外力消失F=0，则方程变为上式称为弦的自由振动方程。我们虽然称(1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。只是其中的未知函数表示的物理意义不同。例2薄膜平衡方程将均匀柔软的薄膜张紧于微翘的固定框架上，除膜自身的重力作用外，无其他外力作用。由于框架的微翘，薄膜形成一曲面。求静态薄膜上各点的横向位移。设展平的薄膜所在平面为oxy坐标面，垂直于oxy面的方向称为薄膜的横向。设薄膜的面密度为常数ρ，薄膜所形

8、成的曲面方程为u=u(x,y)。用平行于oux与ouy的坐标面作平面任意截取薄膜微元PQRS，它在oxy坐标面上的投影四边分别平行于对应坐标轴的矩形P′Q′R′S′，其顶点坐标如图所示。ouyxyy+△yxx+△xPSRQP′S′R′Q′TTTTT—张力密度，沿边缘单位长度上的拉力。由物理学可知，边缘上任一点的张力密度T的方向是在该点处的薄膜切平面内，垂直于