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1、华东理工大学线性代数作业簿（第一册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________1.1矩阵的概念1.矩阵Aa==−=⎡⎤[]2ij.⎣⎦ij23×_____________________⎡101−⎤解：A=⎢⎥.⎣321⎦2．设⎡1000⎤⎡⎤⎡100300⎤⎡⎤52⎢⎥⎢⎥⎢⎥AB==⎢⎥,,0100C=230,D=030,04⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎣0010⎥⎢⎥⎢⎦⎣⎦⎣0
2、41003⎥⎦其中对角阵为_________，三角阵有____________.解：对角阵为D；三角阵有A，C，D.1.2矩阵的运算⎡⎤311−−⎡⎤21−11.已知23⎢⎥−X+=⎢⎥O，求矩阵X.⎣⎦−202⎣⎦311解：依题意，由⎡62221−−⎤⎡−1433⎤⎡−⎤3X=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥，⎣−−404311⎦⎣⎦⎣115⎦⎡4⎤−11⎢⎥3即得X=⎢⎥.⎢115⎥−⎢⎣333⎥⎦2.如果矩阵A与B满足ABB=A，试求mnts,,,之间的关系.mn×ts×解：mnts===.3.填空：⎡⎤4317
3、⎡⎤⎢⎥⎢⎥(1)1232−=；⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5701⎢⎣⎥⎦__________⎡⎤1⎢⎥(2)[]1232,,=；⎢⎥⎢⎥⎣⎦3__________⎡⎤1⎢⎥(3)212[]−=,;⎢⎥⎢⎥⎣⎦3__________⎡⎤131⎢⎥⎡⎤2140012−(4)⎢⎥⎢⎥=.⎣⎦1134131−−⎢⎥⎢⎥__________⎣⎦402−⎡35⎤⎡⎤−12⎢⎥⎢⎥⎡678−⎤解：(1)⎢6⎥；(2)14；(3)⎢−24⎥；(4)⎢⎥.⎣20−5−6⎦⎢⎣49⎥⎦⎢⎥⎣⎦−36⎡010⎤⎢⎥4.已知矩阵A=0
4、01，试求与A可交换的所有矩阵.⎢⎥⎢⎣000⎥⎦解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为3阶方阵，不妨设⎡abc⎤⎢⎥其为B=def，于是有⎢⎥⎢⎣ghi⎥⎦⎡010⎤⎡abc⎤⎡def⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥AB=001def=ghi，⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣000⎥⎦⎢⎣ghi⎥⎦⎢⎣000⎥⎦⎡abc⎤⎡010⎤⎡0ab⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥BA=def001=0de，⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣ghi⎥⎦⎢⎣000⎥⎦⎢⎣0gh⎥⎦⎡def⎤⎡0ab⎤⎢⎥⎢⎥由AB=BA，即得ghi=0de，⎢⎥⎢⎥⎢⎣000⎥⎦⎢⎣0gh⎥⎦由
5、相应元素相等，则得d=g=h=,0a=e=i,b=f,⎡abc⎤⎢⎥故B=0ab(a,b,c均为任意常数）为与A可交换的所有矩阵.⎢⎥⎢⎣00a⎥⎦5.计算下列各题：⎡⎤aaax111213⎡1⎤⎢⎥⎢⎥(1)[]x,,xxaaax；1232⎢⎥122232⎢⎥⎢⎥⎣⎦aaax⎢⎣⎥⎦3132333解：原式等于：222axaxax++++()()()aaxx++aaxx++aaxx111222333122112133113233223⎡13⎤⎢−⎥(2)A=⎢22⎥，求A2008；⎢31⎥⎢⎥⎣22⎦⎡
6、13⎤⎡13⎤⎢−⎥⎢−−⎥解：记A=⎢22⎥，则A2=⎢22⎥，⎢31⎥⎢31⎥−⎢⎣22⎥⎦⎢⎣22⎥⎦⎡⎤−103AI==⎢⎥−，∵200836691=×+⎣⎦01−20082007⎡⎤131313⎡⎤⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−∴⎢⎥22=⎢⎥2222⎢⎥⎢⎥31⎢⎥31⎢⎥31⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦22⎣⎦22⎣⎦22⎡⎤13⎢⎥−=−()I669⎢⎥22=−A.⎢⎥31⎢⎥⎣⎦22⎡⎤2⎢⎥⎡11⎤9(3)A=−21,,，求A.⎢⎥⎢⎥⎣23⎦⎢⎥⎣⎦3解：⎡2⎤218⎢3⎥⎡⎤22⎧⎫⎡⎤⎢⎥98⎢⎥
7、⎪⎪⎡⎤⎡⎤11⎢⎥11⎢2⎥AA=−2⎨⎬1,,−21,,=2=256−−−21.⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦23233⎢⎥⎣⎦33⎩⎭⎢⎥⎣⎦⎢3⎥⎢31⎥⎢⎣2⎥⎦6.利用等式⎡17−−6⎤⎡23⎤⎡20⎤⎡73⎤⎢⎥⎢=⎥⎢⎥⎢⎥,⎣35−12⎦⎣57⎦⎣03⎦⎣5−2⎦⎡⎤−732310⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥,⎣⎦525701−⎣⎦⎣⎦5⎡⎤17−6计算⎢⎥.⎣⎦35−1255⎡⎤17−6⎡⎤2320⎡⎤⎡−73⎤⎡3197−1266⎤解：⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥.⎣⎦35−12⎣⎦570
8、352⎣⎦⎣−⎦⎣7385−2922⎦7.某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该公司现有2000人正在脱产轮训，而不脱产职工有8000人，若每年从不脱产职工中抽调30%的人脱产轮训，同时又有60%脱产轮训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令⎡0.70.6⎤⎡8000⎤AX==⎢⎥⎢,⎥⎣0.30.4⎦⎣2000⎦试用A与X通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人.⎡6800⎤
