华理线代答案4

《华理线代答案4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、华东理工大学线性代数作业簿（第四册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________3.1矩阵的秩1.设mn×矩阵A的秩为r,则下列结论错误的是（）.（A）A有r阶子式非零；（B）A的所有r+1阶子式为零；（C）A没有r阶子式为零；（D）rA()min(,)≤mn.解：C.⎡⎤0154−⎢⎥1231−2．确定矩阵A=⎢⎥的秩，并给出一个最高阶非零子⎢⎥1323−⎢⎥⎣⎦2512式.解：利用初等行变换化

2、成行阶梯形矩阵来求矩阵的秩.⎡⎤12311231−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥0154−−0154由A⎢⎥⎢⎥知rA()2=，最高阶非零⎢⎥0154−⎢⎥0000⎢⎥⎢⎥⎣⎦0154−⎣⎦000001子式可取.12⎡11230−⎤⎢⎥21641−−3.当参数取不同数值时，求矩阵B=⎢⎥的秩。⎢32a71−⎥⎢⎥⎣1161−−−b⎦⎡⎤11−−23011230⎡⎤⎢⎥⎢⎥0122101221−−−−解：由B⎢⎥⎢⎥知⎢⎥016−+−−aa2100800⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦0244−−−bb⎣⎦00002+①当a=−8且b=−2时，r

3、B()2;=②当a=−8且b≠−2，或a≠−8且b=−2时，rB()3;=③当a≠−8且b≠−2时，rB()4=.⎡⎤ab11ab12Lab1n⎢⎥ababLab4.设矩阵A=⎢⎥21222n，求rA()及rA()2.⎢⎥MMOM⎢⎥ababLab⎣⎦nn12nnΤΤΤ解：设αβ==[aa,,LLa],[bb,,b],则A=αβ,且有当α≠012nn12且β≠0时，rA()1;=当α=0或β=0时，rA()0=，又2ΤΤΤΤΤΤAA==A()αβα()()(),βαβαββαα==β则有Τ⎧00βα=2rA()=⎨.⎩1其

4、他5．设A是m阶满秩阵，B是mn×矩阵，试证明ABx=0与Bx=0是同解方程组，并进一步利用齐次线性方程组的有关定理，说明rABrB()()=.证：①先证Bx=0的解均为ABx=0的解，若x是Bx=0的解，则以Bx=0代入ABx，显然有ABx=0；②再证ABx=0的解均为Bx=0的解，其实由A为满秩阵，在−1−1ABx=0两边同时左乘A，即得Bx=A00=；由①、②即知ABx=0与Bx=0是同解方程组，且它们在能得出其任一解的通解式中含有的任意参数个数必相同，即nrABnrB−=()−()，亦即rABrB()()=.6．用

5、初等行变换把下列矩阵化成行最简形.⎡111−⎤⎡20314⎤⎢⎥⎢⎥=⎢310⎥（1）B=−35427;（2）D.⎢⎥⎢245−⎥⎢⎣15201⎥⎦⎢⎥⎣432⎦⎡⎤31102⎢⎥22⎡100⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥111⎢010⎥解：（1）B01−−;解：（2）D.⎢⎥10105⎢001⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥00000⎣000⎦⎢⎥⎣⎦⎡402⎤⎢⎥7．设A为43×矩阵，B=020,则rABrA()()−=_____.⎢⎥⎢⎣103⎥⎦解:0.3.2齐次线性方程组⎡⎤111−⎢⎥TT1．已知Aa=−11,设αα==[1,0,1,][0

6、,1,1]为⎢⎥12⎢⎥⎣⎦11bAx=0的两个解向量，则ab=____,=_____.解:-1,-1.2.方程组Ax=0必（）.3551××(A)无解；(B)仅有零解；(C)有非零解；(D)以上都不是.解:C.3．讨论下列齐次线性方程组是否有非平凡解（即非零解）？若有，则求出其通解.⎧24530xxxx−++=1234⎪（1）⎨36420xxxx−++=;1234⎪⎩4xxxx−++=8171101234（1）解：⎡2⎤120−−⎢⎥7⎡⎤2453−−⎡⎤1211⎢⎥r21(1)−5⎢⎥⎢⎥⎢⎥A=−36420075

7、001⎢⎥r(3)⎢⎥⎢⎥127⎢⎥⎣⎦4−81711r13(4)⎢⎥⎣⎦002115⎢⎥0000⎢⎥⎢⎣⎥⎦由rA()23=<知原方程组有非零解，且原方程组的解为⎧2x=+2xx⎪⎪1247⎨,令x2142==cxc,,则得通解为⎪x=−5x34⎪⎩7⎡⎤2⎡⎤x⎡⎤2⎢⎥71⎢⎥⎢⎥⎢⎥x10⎢⎥2⎢⎥⎢⎥=+ccc,(,c∈R)⎢⎥x12⎢⎥05⎢⎥123⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦x4⎣⎦0⎢⎥7⎢⎥⎣⎦1⎧xxx−+=20123⎧2x−xx=−⎪231⎪xx23−=30⎪（2）⎨;（3）⎨235x13−=xx−2.xxx−

8、250+=⎪123⎪⎩x+=43xx⎪−+=12320xx⎩13（2）解：⎡⎤122122104100−−⎡⎤⎡−⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥013013013010−−−A=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥125003001001−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−201⎣⎦045⎣000⎦⎣000⎦由rA()