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1、华东理工大学线性代数作业簿（第六册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________4.3向量空间*1．设A为4阶方阵A的伴随矩阵，则当A的秩为3时，齐次线∗性方程组Ax=0的解空间的维数为___,而当A的秩为2时，齐∗次线性方程组Ax=0的解空间的维数为.解：3；4.2.设A为n阶矩阵，若r(A)=n−3，且α,α,α为Ax=0的三个123线性无关的解向量，则下列各组中为Ax=0的基础解系是（）.www.khdaw.com(A)α−α,α−α
2、,α−α；(B)α+αα,,0；122331122(C)α,,ααααα+++；(D)α,,32ααα+−.3231231231解：C.⎧T⎫⎪3.设V=⎨⎬xxxxxxx=+[],,+=0,xRi∈,1=,2,3，1123123i⎩⎪⎭课后答案网⎧T⎫⎪3V=⎨⎬xxxxxxx=+[],,+=1,xRi∈,1=,2,3,问R的这2123123i⎩⎭⎪3两个子集，对R的线性运算是否构成向量空间，为什么？13解：按向量空间理论，只需验证每个子集对R的线性运算是否满足封闭性.TT先看V，∀x=[]x,x,x，y=[y,y,y]∈V，及常数k，有11231231[]Tx+
3、y=x+y,x+y,x+y及112233(x+y)+(x+y)+(x+y)=(x+x+x)+(y+y+y)=0+0=0112233123123T即对加法满足封闭性；而kx=[kx,kx,kx]，及123kx+kx+kx=k(x+x+x)=0123123亦即对数乘满足封闭性，故V构成向量空间.1T再看V，∀x,y∈V，有x+y=[x+y,x+y,x+y]，但22112233(x+y)+(x+y)+(x+y)=(x+x+x)+(y+y+y)=1+1=2112233123123即x+y∉V，亦即对加法不满足封闭性，故V不构成向量空间.224．试求由α，α，α生成的向量空间
4、V=span（α，α，α）123123www.khdaw.comTT的一个基及V的维数dimV，其中α=[,1−4,1]，α=[3,0,1]，12[]Tα=,1,0−1.3解：由于V是向量组α,α,α的生成子空间，故V的基及维数完123全等价于向量组α,α,α的最大无关组及秩.由123课后答案网⎡110⎤⎡110⎤⎡110⎤[]α,α,α=⎢−101⎥~⎢011⎥~⎢011⎥123⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣43−1⎥⎦⎢⎣0−1−1⎥⎦⎢⎣000⎥⎦知可取α,α为V的一个基，且dimV=2.122TT5.已知一个四维向量组α=[,3,1,2−1]，α=[,3−0,2,1]，1
5、2[]TTα=,3,1,4−2，α=[,4−1,1,3]，34（1）求α，α，α，α的一个最大无关组及秩；（2）将其余向1234量用这个最大无关组来线性表示；（3）增加向量扩充此最大无关4组为R的一个基.解：构造矩阵[]α,α,α,α并进行初等行变换，由1234[]α,α,α,α=1234⎡2314⎤⎡1−13−3⎤⎡1−13−3⎤⎡102−1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1−13−305−51001−1201−12⎢⎥~⎢⎥~⎢⎥~⎢⎥⎢3241⎥⎢05−510⎥⎢0000⎥⎢0000⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣−10−21⎦⎣0−11−2⎦⎣0000⎦⎣0000⎦知（1）秩为2，可
6、取α,α为一个最大无关组；12⎛102−1⎞⎜⎟⎜01−12⎟（2）由初等行变换的结果矩阵www.khdaw.com，知⎜⎟0000⎜⎟⎜⎟⎝0000⎠α=2α−α,α=−α+2α.3124124（3）为构成R的一个基，只需加入两个向量β,β，使12α,α,β,β线性无关即可，故可取12课后答案网12TTβ13==[0,0,1,0]e,β24=[0,0,0,1]=e.36.求下列齐次线性方程组的基础解系⎧x1+x2+2x3−x4=0⎪（1）⎨2x1+x2+x3−x4=0；⎪2x+2x+x+2x=0⎩1234（2）nx+(n−)1x+K+2x+x=0.12n−1n⎡4
7、⎤100−⎡112−1⎤⎡112−1⎤⎢3⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥解：（1）由A=⎢211−1⎥~⎢0−1−31⎥~⎢0103⎥即⎢⎣2212⎥⎦⎢⎣00−34⎥⎦⎢4⎥⎢001−⎥⎣3⎦rA()=3<4，知方程组有非零解，且基础解系中含有4-rA()=1个⎧4x=x⎪143⎪线性无关解向量.解为⎨x2=−3x4,即知基础解系为⎪4⎪x=x34⎩3T⎡44⎤ξ=,−,31,.⎢⎣33⎥⎦www.khdaw.com解：（2）显然方程组有非零解，且基础解系中含n−1个线性无关解向量，由解为x=−nx−(n−)1x−K−2x，即知基础解系n12n−1为⎡1⎤⎡0⎤⎡0⎤⎢⎥⎢⎥
