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1、华东理工大学线性代数作业簿（第五册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________4.1向量组的线性相关与线性无关TT1.向量α=[1,3,3,5],α=[1,3,5,7],满足α+23,x=α则1212x=.T解：x=[1,3,6,8].2.选择题：（1）下列命题正确的是（）.（A）若向量组α，α，K，α是线性相关的，则α可由α，12m12www.khdaw.comα，K，α线性表示；3m（B）若向量组α，α，Kα线性无关，α，α，K，α，12
2、m12mα线性相关，则α可以由α，α，K，α唯一线性表示；m+1m+112m（C）若α1，α2，K，αm线性相关，β1，β2，K,βm亦线性课后答案网相关，则α1+β1，α2+β2，Kαm+βm也线性相关；（D）若α，α，K，α线性无关，则α，α，K，α也线12m12m+1性无关.解：(B).（2）向量β可由α,αα,...,线性表出的充分必要条件为().12s（A）存在不全为零的数kkk,,...,使得β=kkαα++12s1122L+kα；ss（B）α,αα,...,,β线性相关；12s（C）(,αααβ,...,)x=有唯一解；12s（D）rr(,αααα,...
3、,)=(,αα,...,,)β.12ss12解：(D).T3.向量β=[1,1,1]能否由下列向量组线性表示？若能，请表示出来.TTT（1）α=[]0,3,2，α=[,1−0,1]，α=[0,5,7]；123TTT（2）α=[]0,2,1，α=[0,3,2]，α=[1,0,0].123解：（1）若记矩阵A=[]α,α,α，则问题转变为非齐次线性方程123www.khdaw.com组Ax=β是否有解，故只需判断rA()是否等于rA()β.⎡217M1⎤⎢⎥而[]A
4、β=3−15M1，显然rA()=2≠3=rA()β，故Ax=β无⎢⎥⎢⎣000M1⎥⎦解，即β不能由α,α,
5、α线性表示.123课后答案网⎡120M1⎤⎡100M−1⎤⎢⎥⎢⎥（2）由[]A
6、β=230M1~010M1得rA()=rA()β，⎢⎥⎢⎥⎢⎣001M1⎥⎦⎢⎣001M1⎥⎦故β能由α,α,α线性表示，且β=−α+α+α.123123TT4.已知向量α=[λ,λ,λ]，α=[λ2,λ−,1λ]，12[]TTα=,3,2λ+3，β=[2,1,1λ−1]，问λ取何值时，3（1）β可由α，α，α线性表示，且表达式唯一？123（2）β可由α，α，α线性表示，且表达式不唯一？123（3）β不可由α，α，α线性表示？123解:记A=[]α,α,α，则问题转变为判断非齐次方程组Ax
7、=β123是否有唯一解，有无穷多个解以及无解.⎡λλ2M1⎤⎢⎥由[]A
8、β=λ2λ−13M1及A是含参方阵，知可⎢⎥⎢⎣λλλ+3M2λ−1⎥⎦通过A来讨论Ax=β解的情况.λλ2A=λλ213−=λ(λ−1)(λ+)1λλλ+3www.khdaw.com①当λ≠0且λ≠−1且λ≠1时，由克拉默法则知Ax=β有唯一解，即β可由α,α,α唯一线性表示；123②当λ=0时，⎡002M1⎤[]A
9、β=⎢0−13M1⎥⎢⎥课后答案网⎢⎣003M−1⎥⎦⎡⎤⎢⎥01−−31M⎢⎥1~0⎢⎥01M⎢⎥2⎢⎥5⎢⎥000M−⎣⎦2即rA()≠rA()β，亦即Ax=β无解，故β不能由
10、α,α,α线性123表示；⎡⎤1121M⎡112M1⎤⎢⎥⎢⎥③λ=1时，[]A
11、β=1131M~001M0⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1141M⎢⎣000M0⎥⎦即rA()=rA()β=2＜3,亦即Ax=β有无穷多个解，故β可由α,α,α不唯一地线性表示；123④λ=−1时，⎡−−1121M⎤⎡11−2M−1⎤[]⎢⎥⎢⎥A
12、β=−−1331M~0−21M0⎢⎥⎢⎥⎢⎣−−1123M−⎥⎦⎢⎣000M−4⎥⎦www.khdaw.com即rA()≠rA()β，故β不能由α,α,α线性表示；123综合上述得：（1）当λ≠0且λ≠−1且λ≠1时，即β可由α,α,α唯一线性123表示（2
13、）当λ=1时，β可由α,α,α线性表示，且表达式不唯一；123课后答案网（3）当λ=0或λ=−1时，β不可由α,α,α线性表示。1235.已知4个向量α，α，α，α线性相关，且其中任意3个向1234量都线性无关，试证：必有全不为零的4个数k，k，k，k，1234使得kα+kα+kα+kα=0成立.11223344证：由已知，必存在不全为零的四个数k,k,k,k使下式成立1234kα+kα+kα+kα=011223344下证任一个系数均不为零.假设存在某一个系数k=,0j∈{4,3,2,1}则上式中可去除k对应的一项，进而得出余下jj的三个
