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1、华东理工大学线性代数作业簿（第七册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________5.1方阵的特征值与特征向量1.求下列矩阵的特征值与特征向量:⎡−110⎤⎡122⎤⎢⎥⎢⎥(1)A=−430;(2)A=212.⎢⎥⎢⎥⎢⎣102⎥⎦⎢⎣221⎥⎦−−110λ2解:（1）由
2、A−=−λλI
3、43−0=(2−λ)(1−λ)=0，102−λ解得A的特征值为:λ=λ=1,λ=2,123当λ=λ=1时,解方程()0AI
4、x−=,由12⎡⎤−210⎡⎤101⎡1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥AI−=−420~012,得基础解系为p=2,⎢⎥⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦101000⎢⎥⎣⎦⎢⎣−1⎥⎦故对应λ=λ=1的全部特征向量为kp(k≠0);121当λ=2时,解方程(A−2E)x=0,由3⎡⎤−310⎡⎤100⎡0⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥AI−=−24100~10,得基础解系为p=0,⎢⎥⎢⎥2⎢⎥⎢⎥⎣⎦100⎢⎥⎣⎦000⎢⎣1⎥⎦故对应λ=2的全部特征向量为kp(k≠0).32122−λ2解:(2)由
5、A−=λλI
6、21−2=(λ+1)(5−λ)=0,221−λ解得A的特征值为
7、:λ=λ=−1,λ=5,123当λ=λ=1时,解方程()0AIx+=,由12⎡⎤222⎡⎤111⎡−1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥AI+=222~000,得基础解系为p=1,⎢⎥⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦222⎢⎥⎣⎦000⎢⎣0⎥⎦⎡−1⎤⎢⎥p=0，故对应λ=λ=−1的全部特征向量为1⎢⎥12⎢⎣1⎥⎦kp+kp(kk≠0);112212当λ=5时,解方程:(AIx−5)=0,由3⎡⎤−−422⎡101⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥AI−=5242−~011−,得基础解系为p=1,⎢⎥⎢⎥3⎢⎥⎢⎥⎣⎦224000−⎢⎣⎥⎦⎢⎣1⎥⎦故对应λ=5的全部特征向量为
8、kp(k≠0).33322.已知3阶矩阵A的特征值为1,−1,2,B=A−5A,求B的特征值.解:容易证明，当λ是A的特征值时,则矩阵A的多项式f(A)必32有特征值f(λ).设B=f(A)=A−5A,则B有特征值:f(1)=−4,f(−1)=−6,f(2)=−12.⎡123⎤⎢⎥3.设矩阵A=xyz,且A的特征值为1,,2,3求x,y,z.⎢⎥⎢⎣001⎥⎦1−λ23解:
9、A−λI
10、=xy−λz=(1−λ)[(1−λ)(y−λ)−2x]=0,001−λ⎧(1−2)[(1−2)(y−2)−2x]=0因为A有特征值为1,2,3得:⎨,⎩
11、(1−3)[(1−3)(y−3)−2x]=0⎧2x+y−2=0⎧x=−1即⎨,解得⎨,z无限制,故⎩x+y−3=0⎩y=4x=−1.,y=1,z∈R⎡1−11⎤⎢⎥4.设A=24a,且A有特征值λ=6,λ=λ=2,则⎢⎥123⎢⎣−3−35⎥⎦a=().(A)2;(B)−2;(C)4;(D)−4.1−11解:B.一方面
12、A
13、=λλλ=24；又
14、A
15、=24a=6(6+a),123−3−35所以得a=−2.⎡211⎤T⎢⎥−15.设向量α=[1,k,1]是矩阵A=121的逆矩阵A的特征向⎢⎥⎢⎣112⎥⎦量,试求常数k的值.⎡1⎤⎡211
16、⎤⎡1⎤−1⎢⎥⎢⎥⎢⎥解：设Aα=λα,左乘A得α=λAα,即k=λ121k,⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣1⎥⎦⎢⎣112⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎧1=λ(3+k)⎧λ1=1⎧λ2=14即⎨,解得⎨,⎨,故有⎩k=λ(2+2k)⎩k1=−2⎩k2=1k=−2或k=1.6.设ξ,ξ分别是矩阵A属于不同特征值λ,λ的特征向量,试证:1212ξ+ξ不可能是A的特征向量.12解:设ξ+ξ是A的对应于特征值λ的特征向量,即有120A(ξ+ξ)=λ(ξ+ξ)=λξ+λξ,120120102另一方面,又有A(ξ+ξ)=Aξ+Aξ=λξ+λξ,12121122综合得(λ
17、−λ)ξ+(λ−λ)ξ=0,011022再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”,知必有,λ−λ=λ−λ=0即得λ=λ,与已知条件λ≠λ矛01021212盾,故命题得证.7.设A,B为n阶矩阵,证明AB与BA有相同的特征根.证明:只要证明AB的特征值都是BA的特征值即可.如果0是AB的特征值,则得
18、AB
19、=0,从而
20、BA
21、=
22、A
23、
24、B
25、=
26、AB
27、=0,故0也是BA的特征值;再设λ是AB的任意一个非零特征值,对应的特征向量为x,即有(AB)x=λx,两边左乘B得B(AB)x=λBx,即(BA)(Bx)=λ(Bx),显然Bx
28、≠0（否则有λx=(AB)x=A(Bx)=0,得到λ=0,矛盾）,故λ也是BA的特征值,对应的特征向量为Bx.T8．设A为实正交矩阵,即AAI=,证明:A的特征值的绝对值只能是1或−1.证明:设λ是A的特征值,x是对应λ
