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1、华东理工大学线性代数作业簿（第八册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________6.1二次型及其标准型1.填空题(1)设三阶矩阵的行列式为0,且有两个特征值为1，，矩阵与合同,与合同,则矩阵是_____阶矩阵,其秩.解：三，2.(2)设阶矩阵与正交阵合同，则.解：.因为正交阵，故可逆.与合同即存在可逆矩阵，使得，故=.(3)二次型,则此二次型的矩阵,二次型的秩为______,二次型的正交变换标准型为
2、________________.10/10解：，，提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）.因此求二次型的秩有两种方法：1)直接求二次型的矩阵的秩，2）先求的特征值，有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几.(4)二次型其中，则二次型的矩阵为_________.解：.提示：不是二次型的矩阵，因不是对称阵。注意到的值是一个数，即，故有.而为对称阵.(5)设元(>2)实二次型的正交变换标准型为，则______，矩阵的迹为_____.解：0,.提示：的特征值为，根据易得.(
3、6)如果二次型的秩为2，则参数=_____，表示的曲面为__________.10/10解：3,椭圆柱面.提示：二次型的矩阵的秩为2，故，由此可求得=3.再求出的特征值为，即标准型为，由此知为椭圆柱面.1.已知二次型（）通过正交变换化成标准型，求a的值及所用的正交变换矩阵.解：二次型的矩阵为，，由即得.有三个不同的特征值1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。分别求出对应的特征向量,,并把它们单位化，得正交变换矩阵为.3.已知二次曲面方程可以通过正交变换10/10化为椭圆柱面.求a,b的值和正交矩阵Q.解:由与相似
4、，故，=0，进而得.代入后分别求出的线性无关的特征向量,,,显然他们两两正交，把它们单位化，可得正交变换矩阵为.6.2正定二次型与正定矩阵1.选择题(1)设矩阵，则与（）.(A)合同，但不相似；(B)合同，且相似；(C)不合同，也不相似；(D)不合同，但相似.解：A.10/10(2)下列二次型中，正定的二次型是().解：D.(3)设n阶方阵都正定，则下述选项不正确的是（）.(A)正定；(B)正定；(C)正定；(D)正定.解：B.未必对称，故不正定.(4)与“实二次型（其中）是正定的”等价的选项是（）.(A)对任意，恒有；(B
5、)二次型的负惯性指数为零；(C)存在可逆阵，使得；(D)的特征值均不小于零.解：C.(5)若用表示为负定矩阵，则下述选项正确的是(). (A)若，则<0;(B)若，则的顺序主子式均小于零;(C)若，则对任意与同阶的可逆阵都有;(D)若，则其中至少有一个.10/10解：C.提示：事实上,等价于,即 ，等价于.2.填空题(1)二次型在正交变换下的标准型为；而它在非正交变换下的结果是.解：都是.(2)设是正定二次型，则的取值范围是__________.解：.提示：根据二次型矩阵的各阶顺序主子式大于零求解.(3)设为一个三阶矩阵，其
6、特征值为-1，-1，2，则当满足______条件时，为正定二次型,此时的规范型为_____________.解：,.提示：由的特征值为-1，-1，2知的特征值为又为正定二次型，其特征值必须全部都大于零，故得.10/103.设二次型经正交变换可化为标准型，证明：二次型经相同的正交变换可化为标准型．证： ＝ ＝（）＋（） ＝．4.设二次型，试用正交变换化为标准型，并讨论当取何值时为负定二次型．解：根据第3题的结论，我们只需先求出二次型的正交变换矩阵及其标准型。经计算得二次型的矩阵的特征值为-2,-2,4.对应的
7、线性无关的特征向量为.经施密特正交化，单位化可得所求的正交变换矩阵为,而在正交变换下的标准型为． 故有：10/10在正交变换下的标准型为．二次型为负定二次型，即,,故有（也可用顺序主子式来解）.5.设矩阵A为任意n阶的实对称阵，试分别确定实数的取值范围，使得是1)正定矩阵；2)负定矩阵；3)不定矩阵；4)不可逆矩阵．解:因A为n阶实对称矩阵,故一定存在正交矩阵P,使得:,其中为矩阵A的特征值.于是有:,故:1)当时,为正定矩阵；2)当时,为负定矩阵；3)当时,为不定矩阵；4)当时,为不可逆矩阵.6.设A为n阶实对称阵，试证：
8、如果A是正定阵又是正交矩阵，则.证:（证法一）因为A为n阶实对称阵，故存在可逆阵P，使，其中是A的特征值.因为A正定且正交，所以10/10，且为也即的特征值；由于的属于的特征向量与A的属于的特征向量相同，故有.又由可得.所以，由得.即，故.（证法二）由及，得，即，因为A正定，所以－1不是A
