一类分形集上的Cauchy变换与其相关问题

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1、一类分形集上的Cauchy变换及其相关问题第一章前一言本文研究了一类分形集上Hausdorff测度的cauchy变换的分析性质与分形性质．该课题的研究涉及了分形几何与复变函数几何理论，是一个较新的方向．目前关于这方面的成果还不是很多，有许多问题可以研究．本章我们介绍一些背景知识和我们的主要结论．分形几何是数学领域的一个崭新的分支，非线性科学三大理论前沿之一卜’．它是由B．B．Mandelbrot在1975年提出的．随即，便引起了学者们的广泛关注与研究．至今，分形几何已渗透到了自然科学与社会科学的各个领域，并得到了广泛的应用．在文【2】

2、中B．B．Mandelbrot提到分形具有“粗糙和自相似性”的直观特点，这种自相似可能是近似的或统计的自相似．因而在分形几何的研究中，对自相似集与自相似测度的研究成为了一个热门的课题．自相似集简单来讲是指这样的一个集合：它可以被分成若干个部分，其中每一部分是它自身的压缩复制．而自相似测度是指支撑在自相似集上并且满足一自相似恒等式的概率测度．设(x，d)为完备度量空间，对于映射s：x_x，若存在常数o

3、号成立，则称s为x上的相似压缩．设{&)罂。(m≥2)为x上的一族压缩比为，’n的压缩映射，则由文[3]知，存在唯一的非空紧集Kcx满足’nK=【J晶(K)．(1．2)?t=1K称为该族压缩映射的不变集或吸引子，压缩函数族{＆)罂，称为迭代函数系．若我们对应于迭代函数系{＆)罂，选取一组伴随概率权{陬)罂，，‰≥o，∑墨1‰=1，那么{&)罂。将生成唯一的Borel概率测度肛满足自相似恒等式mp=Fmp。靠1，(1．3)湖南师范大学2006届硕士学位论文且肛的支撑为K．此时，我们称测度肛为不变测度．若{&)器，是相似压缩函数族，则称Ⅳ

4、为自相似集，p为自相似测度．如果对于迭代函数系{&)墨，存在一非空有界开集Vcx，使得u墨1&(u)cu，且对Vi≠歹，&(u)n岛(u)=a，则称{＆)罂。满足开集条件．由文[31知，如果迭代函数系{&>罂，满足开集条件，则不变集Kc可，且它的Hausdorff维数s满足等式竹Z∑r：=1n=l(1．4)如果我们取(1．3)式的概率权p，。=r盖，那么由(1．3)式定义的自相似测度p适合肛=cH5lK，称肛为K上正规化的s～维Hausdor仃测度，其中c=死8(K)一，H8(K)为K的s一维Hausdorg测度．此时测度p满足』上(

5、，％(K))=71ip(K)=‰；肛(&(K)n岛(Ⅳ))=o，i≠歹．(1．5)分形集上的调和分析早在十多年前就开始兴起，并业已取得丰硕成果P“’，而分形集上的复分析在1998年才由美国康乃尔大学的著名数学家R．s．strichartz等人开始探讨卜一．他们主要是通过计算机模拟发现了sierpinski垫上的cauchy变换的一些怪现象，提出了几个猜想(见文[12])．最近几年，x．H．Dong与K．s．Lau对分形集上的复分析进行了系统的研究并取得了一些有趣的结果(见文[13，14])．受以上研究的影响，我们对一类分形集上的Hau

6、sdorff测度的cauchy变换及其相关问题进行了研究．本文第二章研究了三分sierpinski垫K(如图1)上测度肛的cauchy变换砟)=六掣，(1．6)其中弘是K上正规化的Hausdom测度．我们首先考虑了联系到F的几个关键性辅助函数，利用Laplace变换和文[13]中的结果，得到了它们的一些重要性质．利用这些性质我们得到F在K附近的一些分析性质和分形性质．我们研究的主要思想来自于文[13—15】．一类分形集上的Cauchy变换及其相关问题辩多矽多跣．粉0．：妙‘多黼骖蕊≤淞蜕岁虢图1．Sierpinski垫与三分Sierp

7、inski垫令K是复平面c上的三分sierpinski垫，三个顶点分别为l，e2州／3，e4删／3．易知Ⅳ是迭代函数系<瓯)2：o的吸引子，其中鼠z铂心飞)／3㈡：(差+掣)扩沪，尾_0)”一)5．(1_7)由(1．4)式可知K的Hausdorfr维数为a=1+躐≈1．6309．假设肛是Ⅸ上正规化的Q一维Hausdorfr测度，i_e．肛(K)=1．由文[15]的命题2．1知K上肛的cauchy变换F在c＼K的每一连通分支上解析：设丁=1一K，乃=1一玛，其中玛=岛(K)，歹=o，1，⋯，5，则丁的顶点为o，锯e戒／6，锈e刊／6．令

8、∞5A。=U(3佗U互)．(1．8)n=一o。t=1它是由T生成的三分sierpinski角(如图2)．从而我们易有T={z：z∈Ao且Rez≤3／2)．我们把测度肛扩展到Ao上，则易知肛是Ao上口。维Hausdorff