序拓扑空间上的类实数理论

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1、前言．^』．-JL刖吾历史车轮的前进总离不开数学的发展。十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现，推动了科学技术的前进。然而，贝克莱对牛顿理论的攻击，将无穷小量嘲笑为“消失的量的灵魂"，却真正抓住了牛顿理论的缺陷。一方面，微积分在应用中大获成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。到了十九世纪，由十七、十八世纪积累下来的矛盾到了非解决不可的程度。法国著名数学家柯西使分析基础严密化的工作迈出了第一大步。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。1823年，柯西给出了“柯西收敛定理"。而早在1817年，波尔察诺就确切

2、地陈述了有界实数集的最小上界(即上确界)的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪60年代证明了“波尔察诺一魏尔斯特拉斯紧致性定理"。海涅于1872年提出，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。而在1872年，实数的三大派理论：戴德金“分划"理论，康托的“基本序列"理论及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列"理论，同时在德国出现了!在这二十年后，巴赫曼提出了建立实数理论的最后一个重要原理——区间套原理。至此，沿着柯西开辟的道路就建立起来了完整的极限理论与实数理论，从而完成了分析学的逻辑奠基工作，使得微积分学这座数学史上空前雄伟

3、的大厦有了牢固可靠的根基。一般实数理论的七条定理指的是14J：实数基本定理：对尺的每一个分划AlB，都存在唯一的实数，．，使它大于或者等于下类A中的每一个实数，小于或等于上类曰中的每一个实数。确界定理：在实数系尺内，非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。单调有界原理：若数列{矗}单调递增有上界，则{毛}必有极限。区间套原理：设{f口，61}是一个区间套，则必存在唯一的实数，．，使得，包含在所有区间里，即：，．∈n【q，吃】。前言有限覆盖定理：实数闭区间『口，b1的任一覆盖T，必存在有限的子覆盖。紧致性定理：有界数列必有收敛

4、子数列。柯西收敛准则：在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：对于任意的s>0，存在Ⅳ，当咒，m>N时，有k一‰J<占。它们是现代经典数学分析的基本内容之一，围绕七条定理等价性的证明和分析国内已经有很多研究论文，但是基本所有文章的框架和思路都是根基于实数空间的范畴。通过学习描述集合论的相关知识，我发现实直线基本拓扑结构的建构是通过构造开区间来实现的。而这种结构完全可以视为通过全序关系(即通常意义下的大小关系)定义区间概念，从而形成相应的拓扑。基于对实数集拓扑结构和序结构这种本质上的关联的认识，我思考能否在二者的结合部——也就是

5、在所谓的序拓扑空间上，一般实数理论中的这七条定理经过推广是否还能继续保持原有的等价关系。本文主要就实数理论以及相关等价性在序拓扑空间下做了一定的推广、分析和研究。2第一章基本概念本章中，我们主要把建构实直线拓扑结构的基本区间概念移植到序拓扑空间下，并给出涉及到实数理论的相关概念在序拓扑空间下的定义。设(x，<)是至少有两个元素的全序集，口，b∈X，a

6、间，【口，6)称为左闭右开区间，(口，剀称为左开右闭区间。特别地，我们定义：(口，佃)={x卜>口}；【口，+∞)={xIz≥口}；(—∞，b)={xlx

7、的子集族：1)X中所有开区间(口，6)；2)当X有最小元s时，所有X中半开区间[s，b)：3)当X中有最大元，时，所有X中半开区间(a，t】。则可以验证￡满足拓扑基公理，从而基粤生成一个拓扑，称之为序拓扑，相应的空间就称为序拓扑空间。定理1．1序拓扑空间中开区间是开集，(口，q-oo)，(哪，b)也是开集；闭区间是闭集。证明：由定义，开区间显然是开集。我们下面来看(a，+∞)的情形。若X中有最大元‰，贝lJ(a，+∞)--(a，60)∈z，所以(口，栩)是开集。若x中无最大元，贝lJ(a，+∞)=Ua，b)，从而(口，+∞)仍是开

8、集。同理可证第一章基本概念(—∞，b)也是开集。而【口，6】。=(棚，a)U(b，+∞)，所以【口，6r是开集，从而【口，b】是闭集。序拓扑空间具有很多良好的性质，在下面列出一些已知的结果。定理1．2紧序拓扑空间是完备的I引。定理1．3序拓扑空间X