广义Taft代数的Drinfel27d+double结构与其在纽结不变量上的应用

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1、一己I喜J1日研究纽结和3一流形是低维拓扑学中一个举足轻重的部分．而在二十世纪初，基于代数拓扑学的纽结理论发展迅速，这个学科分支的终极目标就是纽结型的完全分类，这需要一个完备的纽结不变量．所谓纽结不变量，通常是一个从纽结同伦等价类(简称纽结型)集合到某一代数集合的映射．如果这个映射是单的，则它就可以区分所有的纽结了，我们称这样的纽结不变量是完备的．然而，因为纽结型是一个几乎不存在任何递归规律的复杂对象，在理论上证明纽结不变量的完备性是天荒夜谈．在实际操作中，拓扑学家们往往满足于构造一些区分能力强而计算方便的不变量。例如能够通过计算机程序获取的．早期利用同伦群这一强有力工具

2、，他们构造了许多经典的纽结不变量，例如著名的Alexander多项式，就是通过计算纽结补空间的无限循环覆叠空间的同伦群而得到的．另外，还有Jones多项式，Kauffman多项式以及HOMFLY多项式等．通过将纽结这样的三维拓扑对象投影到二维平面成为纽结图，然后再用组合方法证明纽结型一一对应于纽结图在相差Reidemeister移动下的等价类，从而即将拓扑对象转化为组合对象来研究．上述提及的所有经典不变量都是建立在纽结图上的，下文中所使用的不变量也是如此．经典不变量的优点就是存在所谓的skeinrelation，通过计算机程序能够得到所有的纽结型所对应的不变量取值(当然鉴

3、于计算机的计算能力也是有限的，这只是理论上的可能)．到了二十世纪八十年代，量子不变量作为低维拓扑与数学物理的交叉应用被发现．在开创性的文献【RT]，【Tu】中，作者通过量子群及其表示巧妙地构造了纽结乃至3一流形的不变量．这是具有一般性的构造，也是量子不变量的雏形．往后随着越来越多量子群的发现，纽结理论的研究也相继进入了一个崭新的时代．关于各种量子不变量的详细介绍，可以参考文献【Oht]．有趣的是，几乎所有的经典不变量均可以通过量子群的表示构造出来．其中，Jones多项式就可以视为最简单的一类量子不变量．而我们正文中所使用的有向正则不变量，具体参考文献【RS]，就是借助于量

4、子群来构造的，即所谓有向量子代数的概念．这种构造方式强烈依赖于量子群中拟三角Hopf代数的R一矩阵，因为它所满足的辫子关系恰好表征了Reidemeister第三种移动下的等价类．而Hopf代数的Drinfel’ddouble是由量子群的创始人VladimirDrinfel’d于1986年在Berkeley的国际数学家大会中提出的一种代数构造．至此之后它便作为获取拟三角Hopf代数的一种典范构造而被广泛应用．我们文章中所使用的有向量子代数取自一拟三角Hopf代数，即广义TaftHopf代数的Drinfel’ddouble．早在70年代。Taft代数作为素幂平方维Hopf代数

5、结构的著名例子被美国数学家Taft发表在美国科学院院刊PNAS上．而在2004年的文章[Hul】一引言中。胡乃红教授给出了Abel李代数的量子包络代数这一新的量子群结构．在单位根情形，它存在一有限维商代数，即广义Taft代数．鉴于拟三角Hopf代数具有自然的有向量子代数结构，正文首先对广义Taft代数的Drinfel’ddouble结构进行研究，这当中主要涉及到广义Taft代数的对偶代数．然后，我们对有向量子代数，以及关联于这一类代数的纽结不变量作简单的介绍，再利用广义Taft代数的Drinfel’ddouble的既得结果计算相应的不变量．2二记号与定义根据文献【PW】中

6、所给定义，域k上的量子仿射n．空间是指一个二次代数k[Aql=k{xl，⋯，xnl／(x,xj--qxj工i，i>力现在令A=0Ze／是一个秩以自由Abel群，其中岛=(61i，⋯，如f)'啊为Kronecker符号．于是{日}。，。是人的一组典范基．另外，对口=(al，⋯，％)，卢=啦I，．一，岛)∈人，'，I‘f‘n。’。。Tii!i6。鼻=6dl母t⋯6口，口，．在文献[Hu】中，胡乃红教授给出了人上的一个斜双特征标0：人×人_驴，它定义为联盯，芦)=9。印—毋’“，a，卢∈人，q∈k×，n—I其中。宰卢=∑∑口∥，．特别地，p(岛，勺)=qi>^1i=工q一1i<

7、工并注意到6『(口，D一1=o(／3，口)=目(一口，国=6I(口，_p)，吠O，Ⅱ)=烈口，O)=伙口，盯)=0．记人+：={a=互n嘶日∈人l嘶∈z+)．令1I=。(2．1)，=并1《2⋯带表示k[AqI。】中的任一非零单项式，那么{，la∈A+)构成k[AqI。】的一组典范基，其中人+=∈兮z+E1．ifi}I；1，根据定义，，妒=矿妒，叩=0(a，助妒矿．接下来给出如文献[Hull中所述的若干定义．对于任意口∈A，考虑七【A妒]上的代数自同构K(口)，它定义为置(a)(∥)=口(暇T)q‘叼’∥，，∈足【A舶，其中(·