关于有限维代数的单连通性和基本群

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1、Keywords：minimalrepresentation—infinitealgebra，H。chschildcohomologygroup，fundamentalgroup，schurianalmosttriangular第l章绪论第1章绪论1．1定义与记号在本文中，k表示一个代数闭域，A表示～个基(basic)的连通的有限维k一代数．则A同构于一个由带关系的箭图(quiver)定义的代数，即彳兰七Q／，，这儿0是A的箭图，I是Q的路代数kO的一个理想．一个箭图Q=(Q0，Q1)是一个有向图，其中Qo是顶点的集合，Q1是顶点间箭向(arrow)

2、的集合．此时假定Q是一个有限箭图，也就是Q0和g都是有限集合．当a：f一，是一个从顶点i到顶点j的箭向时，用s：Q。寸Qo表示s(口)=f的映射，用g：Q1。Q0表示e位)=／的映射．箭图Q中的路或为箭向的～个有序列p=口l⋯口。，e@。)=s(aM)，1≤f<月：或为记号P。，f∈Qo，我们称8f为平凡路，定义J(P，)一8(P。)=f．对于一个非平凡的路p=％⋯口．，我们定义s(p)=J(a1)，P(p)=P(a。)．一个非平凡的道路p称为是一个有向圈(orientedcycle)，若J(p)=P(p)．令kQ是一个以Q中路为基的k一向量空间．为

3、使kQ作为一个k一代数有一个自然的结构，我们定义k一线性映射f：豇Q—End。(≈Q)如下，只要对Q中任何的道路p定义(p)f即可．既然对于kQ作为一个k一向量空间而言，它的路形成了一个基，于是只要对Q中任何路q定义(p)(q)f即可．对于平凡路即我们定义㈤∽净亿霎秽‘对于一个箭向a∈QI，k口若e(q)=s@)，且g是非平凡路(q)(岱)f={口若q=e“。)【o其它若P=口。⋯口。是Q中一条非平凡的路，我们定义(p)f=(口。)厂⋯@。)，．对于kQ中的一个元素盯=∑见口，，q∈七，p是～条路，1≤f≤f，我们有f=lfp)厂=∑(p。)力，．而

4、且我们有(∑P，)厂=1．如果仃=∑p，a，≠o，那么l。1fEr0f=l(∑q)(仃)厂=盯≠o，因此(盯)厂≠o．所以f是一个单映射使得f：坦寸IIll，是k—f∈r。向量空间的一个同构．很清楚1∈hIl厂，而且对于Q中的路p和p。，有(p)f(，1)f=(刀。)f，易知Imf是凸以(七Q)的一个k～子代数．因此通过f在kQ上导出一个k一代数结构．由定义，对于Q中的路p和q学若P(g)=s(p)，且p，g非平凡右q2ej(，)右p2ge(口)其它这个k一代数kQ称为是Q在k上的路代数令(Q，I)是一个连通的限制箭图．～个关系p=∑旯』％∈，(x，

5、_y)称为是极』-l小的，若m≥2且对于{1，⋯⋯，m}的每一个非空的真子集J，∑A，Ⅵ叠，．用m(I)JE，表示理想I的所有极小关系的集合．Q中两个顶点x和y的一个walk是Q中箭向al，⋯一，口，或这样箭向的形式逆的形式合成，始于点x，终于点y．用u表示一个顶点x到自身的平凡的walk．在Q中所有walk的集合上，我们定义同伦关系。作为满足以下情形的极小等价关系：(a)对每个从x到y的箭向口，有口a一一P，和a一1晓一e，．(b)对每个极小关系∑^wf，有Wf—vM，i，j∈(1，⋯⋯，m}f-l(c)若”v，则有wu～wv和up—vD，当这些合

6、成有定义时显然，walk的合成导出了一个同伦类(部分定义的)乘积：如果i表示一个walkw的同伦类，那么五．；被定义，只有“．v有定义时，且我们有五．i=面．特别的对任何x∈Q0，从x到x的walk的同伦类集合石。(Q，，，J)中可处处定义．那么z。(Q，，，x)是一个群，称之为(Q，I)在x点的基本群．因为Q是连通的，对任何两点x，y∈Q0，群石。(Q，，，x)和万。(Q，，，y)显然是同构的．我们用石。(Q，，)表示Q中在固定点x处的群石。(Q，，，x)，称它为(Q，I)的基本群．一个代数A，若它的箭图没有有向圈，则称为是三角的．一个三角代数A称

7、为是单连通的，若对于(作为一个限制箭图代数)A的任何表现4兰kQ／，，基本群石。(Q，，)是平凡的．一个代数A称为强单连通，若A的每个满的凸予范畴是单连通的．(注：一个范畴R的子范畴C，如果满足对于C的任何两个对象A和B，有月j州。(爿，曰)=舶肌。(爿，B)，则称C为R的满子范畴：一个路范畴R的子路范畴C，如果任取点a'b∈C，从a到b的道路所经过的点都在C中，则称C为R的凸子范畴，)如果不可分解A～模的同构类个数是有限的，A称为是有限表示型的，否则称为是无限表示型的．～个代数A是极小无限表示的，若A是无限表示型的，但是对于A中任何非零幂等元e，A

8、／AeA是有限表示型的．用c+爿表示Hochschild复形c+=(c‘，d气。：．定义如下：c‘=o，d。