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时间:2019-02-02
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1、摘要本文旨在讨论组合设计S=∽£)的自同构群。在第一章中,我们对组合设计S=(P,£)的自同构群的历史背景和研究近现状进行了综述。在第二章中,我们给出了群论和组合设计的一些基本知识。在第三章和第四章中,我们考虑几乎单群和区传递的问题:给定线性空间S=(P,£)和群G≤Aut(S),使得T2、=(尸,£)上。如果丁是点传递但不是线传递的,则G。nT兰Z州+I:Z4_R811G£n丁I,这里g=24,口>1是奇数,t2=2q,占=±o主要定理3.设T兰Psu(3,g)望G≤Aut(PSU(3,g))且G是线传递作用在有限线性空间S=(只£)上,则下列情况之一成立:(1)S=PG(2,g)是一个参数为(6,1,,,,尼)=(92(q2一g+1),q3+1,q2q+l,g~1)的Desarguesian射影平面,即一个Hermitianunitary设计;(2)PSU(3,g)在S上点传递但不线传递。并且瓦兰PSU(3,q。),这里g=g;,口为整数;IV(3)PS3、U(3,口)在s上线传递但不旗传递,则疋兰(z(q+i)/3xz州):s,。在第五章和第六章中,我们考虑几乎单群和旗传递的问题。我们得到以下定理:主要定理4.设S:(P,L)是一个非平凡的5一(v,k,1)设计,如果T兰PSL(2,q)司_G≤Aut(T)在S上是旗传递的,则G兰PSL(2,23)且S为、n、I5一(24,8,1)砹计。主要定理5.不存在非平凡的6一(v,k,2)旗传递设计。关键词:几乎单群,组合设计,线传递,旗传递,自同构VABSTRACTThispaperaimsatdiscussingtheautomorphismgroupsofcombinator4、ialdesignS=(P'£).InChapter1,wegiveacomprehensivesurveyofthebackgroundsandmoderndevelopmentsoftheautomorphismgroupsofcombinatorialdesignS=(P,L).InChapter2,weintroducetheelementaryconceptsthatwi11beusedinthiSthesiS.InChapter3andChapter4,wediscussalmostsimplegroupsandline—transitivespaces:Le5、tS=(尸,三),G≤Aut(S),and丁旦G≤Aut(T),whereTisafinitesimplegroups.Themainresultsarethefollowing:Maintheorem1.LetT一6、G≤Aut(T)andGacts1ine—transitivelyandpoint——primitivelyonafinite1inearspaceS=(只三).SupposethatTispoint—transitivebutnotline—transitiveonS,thenG。nT兰zg+口+l:z4and811G£n丁I,whereg=24,a>lisodd,t2=2qands=±.VIMaintheorem3.LetT兰Psu(3,g)旦G≤Aut(PSU(3,g))andGactsline—transitivelyonafinitelinearspaceS=(7、P,£).thenoneofthefollowingholds:(1)S=PG(2,g),theDesarguesianprojectiveplanewithparameters(b,’,,,.,尼)=(92(92-q+1),q3+1,92一q+l,g一1),isaHermitianunitarydesign:(2)"PSU(3,g)ispoint—transitivebutnotline—transitiveonS.Furthermore,L兰PSU(3,qo),whereq=q:forsomeinteger口.(3)PSU
2、=(尸,£)上。如果丁是点传递但不是线传递的,则G。nT兰Z州+I:Z4_R811G£n丁I,这里g=24,口>1是奇数,t2=2q,占=±o主要定理3.设T兰Psu(3,g)望G≤Aut(PSU(3,g))且G是线传递作用在有限线性空间S=(只£)上,则下列情况之一成立:(1)S=PG(2,g)是一个参数为(6,1,,,,尼)=(92(q2一g+1),q3+1,q2q+l,g~1)的Desarguesian射影平面,即一个Hermitianunitary设计;(2)PSU(3,g)在S上点传递但不线传递。并且瓦兰PSU(3,q。),这里g=g;,口为整数;IV(3)PS
3、U(3,口)在s上线传递但不旗传递,则疋兰(z(q+i)/3xz州):s,。在第五章和第六章中,我们考虑几乎单群和旗传递的问题。我们得到以下定理:主要定理4.设S:(P,L)是一个非平凡的5一(v,k,1)设计,如果T兰PSL(2,q)司_G≤Aut(T)在S上是旗传递的,则G兰PSL(2,23)且S为、n、I5一(24,8,1)砹计。主要定理5.不存在非平凡的6一(v,k,2)旗传递设计。关键词:几乎单群,组合设计,线传递,旗传递,自同构VABSTRACTThispaperaimsatdiscussingtheautomorphismgroupsofcombinator
4、ialdesignS=(P'£).InChapter1,wegiveacomprehensivesurveyofthebackgroundsandmoderndevelopmentsoftheautomorphismgroupsofcombinatorialdesignS=(P,L).InChapter2,weintroducetheelementaryconceptsthatwi11beusedinthiSthesiS.InChapter3andChapter4,wediscussalmostsimplegroupsandline—transitivespaces:Le
5、tS=(尸,三),G≤Aut(S),and丁旦G≤Aut(T),whereTisafinitesimplegroups.Themainresultsarethefollowing:Maintheorem1.LetT一6、G≤Aut(T)andGacts1ine—transitivelyandpoint——primitivelyonafinite1inearspaceS=(只三).SupposethatTispoint—transitivebutnotline—transitiveonS,thenG。nT兰zg+口+l:z4and811G£n丁I,whereg=24,a>lisodd,t2=2qands=±.VIMaintheorem3.LetT兰Psu(3,g)旦G≤Aut(PSU(3,g))andGactsline—transitivelyonafinitelinearspaceS=(7、P,£).thenoneofthefollowingholds:(1)S=PG(2,g),theDesarguesianprojectiveplanewithparameters(b,’,,,.,尼)=(92(92-q+1),q3+1,92一q+l,g一1),isaHermitianunitarydesign:(2)"PSU(3,g)ispoint—transitivebutnotline—transitiveonS.Furthermore,L兰PSU(3,qo),whereq=q:forsomeinteger口.(3)PSU
6、G≤Aut(T)andGacts1ine—transitivelyandpoint——primitivelyonafinite1inearspaceS=(只三).SupposethatTispoint—transitivebutnotline—transitiveonS,thenG。nT兰zg+口+l:z4and811G£n丁I,whereg=24,a>lisodd,t2=2qands=±.VIMaintheorem3.LetT兰Psu(3,g)旦G≤Aut(PSU(3,g))andGactsline—transitivelyonafinitelinearspaceS=(
7、P,£).thenoneofthefollowingholds:(1)S=PG(2,g),theDesarguesianprojectiveplanewithparameters(b,’,,,.,尼)=(92(92-q+1),q3+1,92一q+l,g一1),isaHermitianunitarydesign:(2)"PSU(3,g)ispoint—transitivebutnotline—transitiveonS.Furthermore,L兰PSU(3,qo),whereq=q:forsomeinteger口.(3)PSU
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