包含在PSU3(q)中的几乎单群(q为奇素数方幂)

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1、数学年刊2013，34A(2)：139—146包含在PSU3(q)cP的几乎单群(q为奇素数方幂)木丁士锋提要应用置换群的理论列出包含在PSUa(q)(q为奇素数的方幂)中的几乎单的子群关键词PSU3(q)，几乎单的子群，非局部子群MR(2000)主题分类20B05，20E32中图法分类O152．1文献标志码A文章编号1000—8314(2013)02—0139—081引言设()表示和有限域上It维线性空间相联系的典型群．当It≥13时，文【1]给出了Cn(K)的极大子群的结构．当礼<13时，文[2】给出了()的子群性质的一般性描述．在群与有限几何等研究领域，有时需要知道某

2、个典型群的全部子群来进行相关研究，例如，借助于PSL2(g)，PSU3(2)，PSL3(q)的子群列表或极大子群列表[3-5]，进行与这些子群有关的研究工作[6-s]．但对于群PSU3(q)(q是奇素数的方幂)，因为缺少类似的子群列表，相关的研究迟迟没有展开．本文将PSU3(q)的子群分为局部的和非局部的．设1

3、q=P是奇素数的方幂，G是PSU3(q)的非局部子群．则G是几乎单群，且G的结构由下表给出：G的结构注记GPSU3(p”、百m(>1)是奇数，P>2GPSU3(p”)．器(≥1)是奇数且3l(P”+1)，P>2GPGL2(p)或PSL2)礼Im，P”>3GA6，M10或7q=5，m是奇数GA5q三1(mod10)GA6(15，q)=1，、／／5∈GF(q)，、／／一3GF(q)GPSL2(7)(7，q)=1，、／一7GF(q)并且，如果，m，仃)满足表中右边注记的条件，则左边相应的子群G必出现．文中符号解释如下：用一表示域GF(q。)的对合自同构，即对∈GF(q。)，定义瓦

4、=。；用z表示SU3(q)的中心，Z的阶记为d，熟知d=(3，g+1)；用x，Y，⋯等粗体本文2011年1月7日收到，2012年1O月26日收到修改稿．中南大学数学与统计学院，长沙410083．E-mail：isgibt@yahoo．com．an本文受到国家自然科学基金(No．11271208)的资助．数学年刊34卷A辑字母表示2阶或3阶可逆矩阵，如果X=(aij)，则定义=(石)；用[X]表示PSU3(q)中的元素，即[X]=[Y】甘Y，X∈SU3(q)且XY_1∈Z．设H为GL3(q。)中的Hermite矩阵(即丽=H)，由GL3(g。)中满足XHX=H的矩阵x组成的群

5、记为U(H，q)，相应的特殊酉群记为SU(H，q)．与H相联系的是射影平面中的迷向点和非迷向点．在域GF(q)上的三维空间中，设V=(，，)是非零向量，由V生成的一维线性空间记为(”)．如果V是非零向量且满足H西=0，则(V)称为迷向点，否则(V)称为非迷向点．熟知GL3(q)中Hermite矩阵彼此等价，因而也将U(H，q)，SU(H，q)分别记为U3(q)和SU3(q)．文中常取Hermite矩阵H为以下形式：／1、／，1、H1=l＼1I，H2=l一11．(1．1)1／＼1／2Bloom关于PSL3(q)的子群的结果Bloom列出了PSL3(q)(q是奇数)中的非局部子

6、群【5】．因为PSU3(口)可以视为PSL3(q。)的子群，所以PSU3(q)的一切子群也是PSL3(q)的子群．这样，在讨论PSU3(q)中的非局部子群时，只要判断PSL3(q。)中的哪些非局部子群能作为PSU3(q)的子群即可．定理2．1【]设q=P是奇素数的方幂，G是PSL3(q)的非局部子群且13GPSL2(5、q三

7、4-1(mod10)GPSL2(7)q。三1(mod7)G6，1o或7q：52mG6q三l或19(mod30)并且，如果(P，m，他)满足右边注记中的条件，则在GL3(q)(sL3(q))的共轭下，PSLa(q)恰有一个左边的子群．3定理1．1的证明本节恒假定q是奇素数的方幂．以下证明，对于定理2．1的列表中的几乎单群，除了GPSL3)或GPSL3(pn)．的情形，其他所有的几乎单群G，都有可能作为PSU3(p)的子群．下面的引理将具体说明在什么条件下有G