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1、数学年刊2013,34A(2):139—146包含在PSU3(q)cP的几乎单群(q为奇素数方幂)木丁士锋提要应用置换群的理论列出包含在PSUa(q)(q为奇素数的方幂)中的几乎单的子群关键词PSU3(q),几乎单的子群,非局部子群MR(2000)主题分类20B05,20E32中图法分类O152.1文献标志码A文章编号1000—8314(2013)02—0139—081引言设()表示和有限域上It维线性空间相联系的典型群.当It≥13时,文【1]给出了Cn(K)的极大子群的结构.当礼<13时,文[2】给出了()的子群性质的一般性描
2、述.在群与有限几何等研究领域,有时需要知道某个典型群的全部子群来进行相关研究,例如,借助于PSL2(g),PSU3(2),PSL3(q)的子群列表或极大子群列表[3-5],进行与这些子群有关的研究工作[6-s].但对于群PSU3(q)(q是奇素数的方幂),因为缺少类似的子群列表,相关的研究迟迟没有展开.本文将PSU3(q)的子群分为局部的和非局部的.设13、包含在PSU3(q)(q是奇素数的方幂)中的几乎单的子群.主要结果叙述如下.定理1.1设q=P是奇素数的方幂,G是PSU3(q)的非局部子群.则G是几乎单群,且G的结构由下表给出:G的结构注记GPSU3(p”、百m(>1)是奇数,P>2GPSU3(p”).器(≥1)是奇数且3l(P”+1),P>2GPGL2(p)或PSL2)礼Im,P”>3GA6,M10或7q=5,m是奇数GA5q三1(mod10)GA6(15,q)=1,、//5∈GF(q),、//一3GF(q)GPSL2(7)(7,q)=1,、/一7GF(q)并且,如果,m,仃4、)满足表中右边注记的条件,则左边相应的子群G必出现.文中符号解释如下:用一表示域GF(q。)的对合自同构,即对∈GF(q。),定义瓦=。;用z表示SU3(q)的中心,Z的阶记为d,熟知d=(3,g+1);用x,Y,⋯等粗体本文2011年1月7日收到,2012年1O月26日收到修改稿.中南大学数学与统计学院,长沙410083.E-mail:isgibt@yahoo.com.an本文受到国家自然科学基金(No.11271208)的资助.数学年刊34卷A辑字母表示2阶或3阶可逆矩阵,如果X=(aij),则定义=(石);用[X]表示PSU5、3(q)中的元素,即[X]=[Y】甘Y,X∈SU3(q)且XY_1∈Z.设H为GL3(q。)中的Hermite矩阵(即丽=H),由GL3(g。)中满足XHX=H的矩阵x组成的群记为U(H,q),相应的特殊酉群记为SU(H,q).与H相联系的是射影平面中的迷向点和非迷向点.在域GF(q)上的三维空间中,设V=(,,)是非零向量,由V生成的一维线性空间记为(”).如果V是非零向量且满足H西=0,则(V)称为迷向点,否则(V)称为非迷向点.熟知GL3(q)中Hermite矩阵彼此等价,因而也将U(H,q),SU(H,q)分别记为U3(q6、)和SU3(q).文中常取Hermite矩阵H为以下形式:/1、/,1、H1=l\1I,H2=l一11.(1.1)1/\1/2Bloom关于PSL3(q)的子群的结果Bloom列出了PSL3(q)(q是奇数)中的非局部子群【5】.因为PSU3(口)可以视为PSL3(q。)的子群,所以PSU3(q)的一切子群也是PSL3(q)的子群.这样,在讨论PSU3(q)中的非局部子群时,只要判断PSL3(q。)中的哪些非局部子群能作为PSU3(q)的子群即可.定理2.1【]设q=P是奇素数的方幂,G是PSL3(q)的非局部子群且17、a(q),则G是几乎单群,且G的结构由下表给出:G的结构注记GPSL3(P)几ImGPSU3(p”、2礼lmGPSL3(P).3礼lm且3l(P一1)GPSU3(p”1.Z36几1m且3I(P+1)GPSL2(p)或PGL~(p)nlm且P>3GPSL2(5、q三4-1(mod10)GPSL2(7)q。三1(mod7)G6,1o或7q:52mG6q三l或19(mod30)并且,如果(P,m,他)满足右边注记中的条件,则在GL3(q)(sL3(q))的共轭下,PSLa(q)恰有一个左边的子群.3定理1.1的证明本节恒假定q是奇素数的8、方幂.以下证明,对于定理2.1的列表中的几乎单群,除了GPSL3)或GPSL3(pn).的情形,其他所有的几乎单群G,都有可能作为PSU3(p)的子群.下面的引理将具体说明在什么条件下有G
3、包含在PSU3(q)(q是奇素数的方幂)中的几乎单的子群.主要结果叙述如下.定理1.1设q=P是奇素数的方幂,G是PSU3(q)的非局部子群.则G是几乎单群,且G的结构由下表给出:G的结构注记GPSU3(p”、百m(>1)是奇数,P>2GPSU3(p”).器(≥1)是奇数且3l(P”+1),P>2GPGL2(p)或PSL2)礼Im,P”>3GA6,M10或7q=5,m是奇数GA5q三1(mod10)GA6(15,q)=1,、//5∈GF(q),、//一3GF(q)GPSL2(7)(7,q)=1,、/一7GF(q)并且,如果,m,仃
4、)满足表中右边注记的条件,则左边相应的子群G必出现.文中符号解释如下:用一表示域GF(q。)的对合自同构,即对∈GF(q。),定义瓦=。;用z表示SU3(q)的中心,Z的阶记为d,熟知d=(3,g+1);用x,Y,⋯等粗体本文2011年1月7日收到,2012年1O月26日收到修改稿.中南大学数学与统计学院,长沙410083.E-mail:isgibt@yahoo.com.an本文受到国家自然科学基金(No.11271208)的资助.数学年刊34卷A辑字母表示2阶或3阶可逆矩阵,如果X=(aij),则定义=(石);用[X]表示PSU
5、3(q)中的元素,即[X]=[Y】甘Y,X∈SU3(q)且XY_1∈Z.设H为GL3(q。)中的Hermite矩阵(即丽=H),由GL3(g。)中满足XHX=H的矩阵x组成的群记为U(H,q),相应的特殊酉群记为SU(H,q).与H相联系的是射影平面中的迷向点和非迷向点.在域GF(q)上的三维空间中,设V=(,,)是非零向量,由V生成的一维线性空间记为(”).如果V是非零向量且满足H西=0,则(V)称为迷向点,否则(V)称为非迷向点.熟知GL3(q)中Hermite矩阵彼此等价,因而也将U(H,q),SU(H,q)分别记为U3(q
6、)和SU3(q).文中常取Hermite矩阵H为以下形式:/1、/,1、H1=l\1I,H2=l一11.(1.1)1/\1/2Bloom关于PSL3(q)的子群的结果Bloom列出了PSL3(q)(q是奇数)中的非局部子群【5】.因为PSU3(口)可以视为PSL3(q。)的子群,所以PSU3(q)的一切子群也是PSL3(q)的子群.这样,在讨论PSU3(q)中的非局部子群时,只要判断PSL3(q。)中的哪些非局部子群能作为PSU3(q)的子群即可.定理2.1【]设q=P是奇素数的方幂,G是PSL3(q)的非局部子群且17、a(q),则G是几乎单群,且G的结构由下表给出:G的结构注记GPSL3(P)几ImGPSU3(p”、2礼lmGPSL3(P).3礼lm且3l(P一1)GPSU3(p”1.Z36几1m且3I(P+1)GPSL2(p)或PGL~(p)nlm且P>3GPSL2(5、q三4-1(mod10)GPSL2(7)q。三1(mod7)G6,1o或7q:52mG6q三l或19(mod30)并且,如果(P,m,他)满足右边注记中的条件,则在GL3(q)(sL3(q))的共轭下,PSLa(q)恰有一个左边的子群.3定理1.1的证明本节恒假定q是奇素数的8、方幂.以下证明,对于定理2.1的列表中的几乎单群,除了GPSL3)或GPSL3(pn).的情形,其他所有的几乎单群G,都有可能作为PSU3(p)的子群.下面的引理将具体说明在什么条件下有G
7、a(q),则G是几乎单群,且G的结构由下表给出:G的结构注记GPSL3(P)几ImGPSU3(p”、2礼lmGPSL3(P).3礼lm且3l(P一1)GPSU3(p”1.Z36几1m且3I(P+1)GPSL2(p)或PGL~(p)nlm且P>3GPSL2(5、q三4-1(mod10)GPSL2(7)q。三1(mod7)G6,1o或7q:52mG6q三l或19(mod30)并且,如果(P,m,他)满足右边注记中的条件,则在GL3(q)(sL3(q))的共轭下,PSLa(q)恰有一个左边的子群.3定理1.1的证明本节恒假定q是奇素数的
8、方幂.以下证明,对于定理2.1的列表中的几乎单群,除了GPSL3)或GPSL3(pn).的情形,其他所有的几乎单群G,都有可能作为PSU3(p)的子群.下面的引理将具体说明在什么条件下有G
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