相继两个正整数平方和中的素数方幂-论文.pdf

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1、第3l卷第1期湖北民族学院学报(自然科学版)V01．31No．12013年3月Jo唧alofHIlbeiU面versityforN“onalities(Natu礴lScienceEdition)Mar．2013相继两个正整数平方和中的素数方幂管训贵(泰州师范高等专科学校数理信息学院，江苏泰州225300)摘要：设n是正整数，p是素数，给出了p<6×106时，方程z2+(戈+1)2=p“的全部正整数解．关键词：相继正整数；平方和；素数；素数方幂中图分类号：0156文献标志码：A文章编号：1008—8423(2013)叭一003

2、3—03ThePI．imePowersinSumsofSquaresofTwoConsecutiVePositiVeIntegersGUANXun—gui(SchoolofMathematics，Physics＆Inf0瑚ationScience，TaizhouTeachersCoUege，Taizhou225300，China)Abstract：Letnbepositiveinteger，andletpbeaprime．Inthispaper，aUpositiVeintegersolutionsoftheequation咒

3、2+(戈+1)2=p“whenp<6×106aregiven．of1【eywords：consecutiVepositiVeintegers；sumcube；prime；primepower1引言及主要结论设Ⅳ+，P分别表示全体正整数和素数的集合．1967年，E．L．Cohen⋯借助于计算机证明了方程：x2+(戈+1)2=p“，n∈，v+，p∈P(1)适合p≤109的解仅有：(x，p，n)=(1，5，1)，(2，13，1)，(3，5，2)，(4，41，1)，(5，61，1)，(20，29，2)，(119，13，4)(2)由于

4、该问题是经典的多项式表素数问题的推广，并且与阶为素数方幂的有限单群的存在性问题有着直接的联系∽J．因此，研究方程(1)的解具有一定的理论价值．2000年，李中∞1证明了方程(1)适合p>109的正整数解(戈，p，n)都满足n≤2．由此及式(2)可知，除了(z，p，n)=(119，13，4)这一情况外，当方程(1)成立时，则必有n=1或2．本文找到了方程(1)在p<6×106时的全部正整数解，即以下结果．定理1若素数p<6×106，则当n=1时，方程(1)共有365组正整数解(菇，p)，其解数分布如表1所示．表l解数分布表Ta

5、b．1Distributionofthenumberofsolution定理2若素数p<1×1016，则当凡=2时，方程(1)仅有6组正整数解：(算，p)=(3，5)，(20，29)，(4059，5741)，(23660，33461)，(31509019100，44560482149)，(1235216565974040，1746860020068409)．(3)2关键性引理引理1若n=1，则方程(1)中戈必满足戈=1或戈≠1，3，6，8(mod10)．收稿日期：2012—1l一30．基金项目：泰州师范高等专科学校重点课题资

6、助项目(2011一Asx—01)作者简介：管训贵(1963一)，男，副教授，主要从事基础论的研究．湖北民族学院学报(自然科学版)第31卷证明若凡=1，则方程(1)成为：·p=2z(z+1)+1．当z=1时，p=5是素数，结论成立．当石≠l且戈；1(mod10)时，p；5(mod10)；同样当戈三3，6，8(mod10)时，也有p；5(mod10)．此时，5p，与p为素数矛盾．引理l得证．引理2方程菇2+(戈+1)2=彳2的全部正整数解由递推式：戈。+。=[(3+2√乏)戈。]+3，彳。+，=[(3+2√2)z。]及戈。=3，

7、三，=5，凡∈Ⅳ+，给出，其中[a]表示实数a的整数部分．证明参见文献[4—5]．3定理的证明先证定理1．考虑到n=1，_p<6×106时，1≤戈≤1731，结合引理1并利用计算机可算出方程(1)满足p<6×106的全部正整数解为：(戈，_p)=(1，5)，(2，13)，(4，41)，(5，61)，(7，113)，(9，181)，(12，313)，(14，421)，(17，613)，(19，761)，(22，1013)，(24，1210)，(25，1310)，(29，1741)，(30，1861)，(32，2113)，(34

8、，2381)，(35，2521)，(39，3121)，(42，3613)，(47，4513)，(50，5101)，(60，7321)，(65，8581)，(69，9661)，(70，9941)，(72，10513)，(79，12641)，(82，13613)，(84，14281)，(85，