单点Hopf代数模上的不变双线性型

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1、独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．签名：l南茳日期：砧车，月节日关于论文使用授权的说明本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文．(保密的论

2、文在解密后应遵守此规定)签名：南扛导师签名：桶七持日期：yd车j月7日第1章绪论在本硕士论文中，我们总假定所有的代数、模、向量空间都是在域k上，数域通常为复数域，所有的映射都是线性的．1975年，Radford在文献f11中构造了两类有限维点Hopf代数．第一类点Hopf代数包含了一个自对偶的点Hopf代数的子类，这一子类推广了我们熟知的Taft的Hopf代数．在1994年，Rm：lford在文献[2】中，构造了两类推广的点Hopf代数．第一类推广了我们熟知的Sweedler的四维非可换菲余可换的Hopf代数；第二类是有限维UnimoduleRibbon点Hopf

3、代数．在1996年，S．Gelaki证明了以上两类点Hopf代数在某种意义下的唯—性(见文献【3])．在1999'年，Roxtford在文献f41中引入了“单点Hopf代数”的概念，研究了单点Hopf代数的结构和性质，并给出了其判别方法．在2004年，杨士林研究了一类有限表示型点Hopf代数日(Q)的表示理论(见文献【5])，作为推论给出了单点代数R(q，Ot)所有不可分解模的分类，并且给出了其矩阵形式．文献『51中得到的所有不可分解模将是本硕士论文的研究对象．为叙述方便，我们先给出日(n)和R(q，Ot)的定义．设整数仉f，，，^，d和7使得乱=，删以及dl口，

4、这里有1=：和n=tt',／d=md，w是n-次单位根．定义：H(a)=k(z，glxg=w”gx，g”=1，x4=n(扩一1))．其中o∈≈假设chat☆{n，H(Q)是一个点Hopf代数．它的余代数结构为：△(z)=。@97+lox，A(g)=g@gE(z)=o，E(9)=l；z(g)=g～，s(z)=-x9～．我们知道，对于任何ot∈k，点Hopf代数日(Q)具有有限表示型(见文献【51)．由Radford的结果可知，任何有限维单点Hopf代数R(q，o)均具有形式R(口n)=k(z，g[zg=q-19x，94=1，z“=o(94一1))这里chark十n，

5、n=md，q是d-次本原单位根．北京工业大学理学硕士学位论文不变双线性型是代数表示理论中重要的研究工具．在量子群的表示理论中，不变双线性型也有很重要的作用．Rosso型是半单李代数g的量子包络代数碥(g)上的不变双线性型．我们可以应用Rosso型来构造所谓的Harish—Chandra同态．在文献(6】中，Joseph在Kac—Moody的情形下定义了Rosso型，并明确地刻画了所谓的Harmonic元素的空间．在文献171中，Kashiwawa利用和Rosso型相关的双线性型研究了Crystal基．在2004年。杨士林在限制型Hopf代数蟛”(s22)的所有有限

6、维半单模和投射模上构造了不变双线性型，给出了相对应的矩阵，并证明了唯一性f81．如何在单点Hopf代数R(q，n)的所有有限维不可分解模上构造R(q，＆)一不变双线性型的问题，目前还没有相应的结果．本文的目的是要解决这个问题，并且给出它们所对应的矩阵．本硕士论文主要的研究方法是：根据日一不变双线性型的定义，得到其等价关系(分别为引理3l、引理4．1和引理5．1)，对所有的可能情况进行讨论，适当构造双线性型(一，一)使得它是日一不变的，再给出相对应的矩阵，最后证明结论的正确性．本硕士论文的主要结论为定理3．7，定理47和定理5．6．在第3章中，作者在单点Hopf代数

7、R(q，0)的每个有限维不可分解模上构造了n(q，0)一不变双线性型，并给出相对应的矩阵．我们知道，对于单点Hopf代数n(q，0)，设ei=ii∑，∈矗"og’，这里i∈磊，则孵=R(q，O)e,／R(q，0)zu+lei是u+l维循环R(q，0)模，其中(“，i)∈乙×磊；它带有基q(i)=∥岛，0≤J≤“．在同构的意义下，{A掣i(“，i)∈函X磊)是R(q，0)的所有有限维不可分解模的同构类的集合．第3章的主要结论为定理3．7对于每个固定的有序对(u，i)∈zdX磊，记单点Hopf代数R(q，0)的每个有限维不可分解模嵋‘的基元素为％({)，其中0SJ≤Ⅱ

8、假设(一，