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《2020版高考数学复习专题8立体几何第64练向量法求解空间角理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第64练向量法求解空间角[基础保分练]1.如图所示，已知空间四边形OABC中OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．2.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为______．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为________．4．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为________．5．(2019·无锡模拟)在正方体ABCD－A1B1
2、C1D1中，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为________．6.如图，在三棱锥O－ABC中，OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝90°，OC⊥平面AOB，D为AB的中点，则OD与平面OBC所成的角为________．7．平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________．8．(2019·江苏盐城中学期中)如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC所成的角的余弦值为________．9
3、．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1D与CD1所成的角为____________，二面角B－A1C－D的大小为________．10.如图，在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分别是AB和SC的中点．则直线SM与平面SAC所成角的大小为________．[能力提升练]1.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成角的余弦值是________．2．已知空间向量a，b满足
4、a
5、＝
6、b
7、＝1，且a，b的夹角为
8、，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足＝2a＋b，＝3a－b，则△OAB的面积为________．3．过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是________．4.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．则异面直线NE与AM所成角的余弦值为________．5．(2019·江苏南通中学月考)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面A
9、BC所成角的正弦值等于________．6．已知△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝1，若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是________．答案精析基础保分练1．0 2.60° 3. 4. 5.6．45°解析 以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，D，C(0,0,1)，由题意得OB⊥OA，OA⊥OC，∴是平面BOC的法向量，设OD与平面OBC的夹角为θ，θ∈[0°，90°]，则sinθ＝
10、cos〈，〉
11、＝＝，
12、∴θ＝45°，∴OD与平面OBC的夹角为45°.7.解析 y轴的一个方向向量为m＝(0,1,0)，设y轴与平面α所成的角为θ，则sinθ＝
13、cos〈m，n〉
14、.∵cos〈m，n〉＝＝＝－，∴sinθ＝，∵θ∈，∴θ＝.8.解析 因为＝－，所以·＝·－·＝
15、
16、·
17、
18、·cos〈，〉－
19、
20、·
21、
22、·cos〈，〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16，所以cos〈，〉＝＝＝.所以OA与BC的夹角的余弦值为.9．60° 60°解析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1
23、的棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(0，－1,1)，设异面直线A1D与CD1所成的角为θ，θ∈(0°，90°]，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，∴异面直线A1D与CD1所成的角为60°.＝(1,0,1)，＝(0,1,0)，＝(1，－1,1)，＝(1,0,0)，设平面DCA1的法向量n＝(x1，y1，z1)，则取x1＝1，得n＝(1,0，－1)，设平面BCA1的法向量m＝(x2，y2，z2)，则取y2＝1，得m＝(0,1,1)，设二面角B－A1C－D
24、的大小为α，α为锐角，则cosα＝＝＝，∴α＝60°，∴二面角B－A1C－D的大小为60°.10.解析 因为∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，所以以S为
