测度链上动力方程边值问题正解存在性与多解性的分析

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1、引言在现实生活中为了描述某类物理现象，生物化学反应状态等现象时，通常用方程来进行表达和描述．这些方程包括连续状态下的微分方程和离散情形下的差分方程．对同一个微分方程如果经过差分化后引出描述同一现象的差分方程，人们很自然要提出这样一系列的问题t微分方程差分前后两个方程的性质相似吗?两个方程解的情况和性质一样吗?可以用一种统一的理论来对它们进行研究吗?这样提出的问题是很具有启发性，在经过一些学者的尝试和研究后表明，微分方程的许多性质经过差分化后是保留下来了，但是，也有不少例子表明微分方程与差分方程会有一些不同的性质．尽管有不同，但二者相似之处却预示可以产生一个把连续和离散的问题纳入同一框架进行研

2、究的新的分析理论．在1988年德国数学家StefanHiiger在他的博士论文中首先引入了测度链概念。在1990年他发表了测度链分析一一个连续与离散计算的统一方法[1J1，此文发表后受到数学家的广泛关注．该理论把连续和离散的计算缡入同一框架下一泓度链上的计算，从而运用这个理论对连续与离散的问题统一的解决，避免了对许多微分方程和它们相应的差分方程进行重复的研究．在测度链上对方程的研究使人们有一个更为宽广的的研究领域和舞台．测度链上动力方程的研究可追溯到其创立者Hilger，是当前数学界十分关注的比较年轻的课题．链度链分析理论的优势一统一了连续与离散分析，从而确立了它在测度链上动力方程的重要应用

3、价值．测度链上的动力方程不仅可以包括微分方程和差分方程作为它的特殊情况，而且在应用上有着巨大的潜力．在自然界中有相当多的过程有时依赖连续变量。有时依赖离散变量．测度链上的动力方程却能恰当的给出一些现象的数学模型．例如美国彼得森与托马斯用测度链上的动力方程弥合了西尼罗河病毒传播的离散和连续方面之间的空隙．托马斯认为这种数学模型是理解和控制这种疾病的最有效的工具．另外不同季节昆虫种群的活动期和休眠期、神经网络、热传导等可以用它来描述，这种数学工具目前已用来改进股票市场的计算模式．对于测度链上动力方程的研究已取得了不少结果，其中Botmer和Peterson系统的分析了时间测度(测度链的一种情况)

4、1上动力方程的重要一类；时间测度上的动力方程(DynamicequationsOntimescales)【2】．本文主要研究测度链上的Nabla指数函数的一些性质、Nabla指数函数与Delta指数函数的关系以及测度链上三类动力方程边值问题正解的存在性与多解性．在一些介绍测度链概念及其运算的文章中(比如[1】)提到在测度链的运算中很重要一个函数Delta指数函数，介绍了它的一些性质和它的运算．但是对于与Delta指数函数相似的Nabla指数函数介绍不多，关于Nabla指数函数与Delta指数函数的关系、二者在Delta可微与Nabla可微下的关系没有见到，该问题解决了有关这二个函数之间的运算

5、相互转化困难的难题．测度链上动力方程边值问题有很广泛的实际背景(比如提到的例子)，解决此类问题有较多数学理论和方法，例如拓扑理论，临界点理论。迭合度方法、半序方法等，本文讨论了测度链上三类动力方程边值问题，下面把本文讨论的主要问题列出如下，’第三章《二阶测度链上周期边值问题的正解》卜第四章《二阶测度链上m．点边值问题的正解》>第五章《高阶测度链上Ill-点边值问题的正解》在解决上述三个问题的过程中，利用非线性泛函分析中的方法，得到上述三个方程正解的存在性与多解性．2第一章测度链基本理论§1．1基本概念本节首先介绍测度链上的基本概念与定义，详细的内容可见【2]．定义1．1．1如果T是实数集R上

6、的一个非空闭子集，则称T是一个测度链．有关测度链的例子，自然数集N，整数集Z，实数集R，Cantor集，实数区间fa，b】的任何闭区间，其中a，b是实数．然而，有理数集Q，酞一Q复数集C，却不是测度链．定义1．1．2对Vt∈T设inf0：=supT定义dr：T_T其中盯(t)：=inf{s∈T：s>t)则称仃前跳算子．同样可以定义后跳算子；对Vt∈T设supO：=infT定义P：T一面其中p(t)：=sup{s∈T：st时，称t是右稀疏的；当p(t)<

7、￡时，称t是左稀疏的．如果T存在右稀疏的最小值点m，则Tk；T一{m}。否则，Tk=T．如果T存在左稀疏的最大值点M，则Tk=T一{M}．否则，T‘=T．另外，记铲2=(铲)2硪=铲nTk我们记p(t)：=口(t)一t称／．t为向前graininess，记v(t)=t—p(￡)称∥为向后graininess．设，：口一R为一函数，规定t尸∽=，(盯㈤)fv(t)=，(户(f))觇∈T设a,b为T中的点且o