第三章随机变量的数字特征

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1、第三章随机变量的数字特征1．填空题（1）已知随机变量X的分布密度为2⎧ax+bx+c0≤x≤1p(x)=⎨⎩0其它且EX=0.5,DX=0.15，则a=，b=，c=。1−x2+2x−1（2）已知随机变量X的分布密度为p(x)=e则EX=，πDX=。⎡1⎤−1012⎢⎥2（3）设随机变量X的分布律为⎢⎥，则EX=，11111⎢⎥⎣366124⎦2E(−X+1)=；EX=。（4）设随机变量X服从泊松分布，则X的分布律为，2E(X−3X)=。（5）设随机变量服从B(n,p)分布，已知EX=1.6，DX=1.28，则参数n=，p=。2（6）设随机变量X服从N(µ,σ)分布，已知P{X≤

2、−1.6}=0.036,P{X≤5.9}=0.758，则EX=，DX=，P{X>0}=。（7）设随机变量X的分布密度为⎧A⎪x<1p(x)=⎨1−x2⎪⎩0x≥1则A=，EX=2EX=，DX=。（8）若随机变量X,Y相互独立，EX=0,EY=1,DX=1，则E[X(X+Y−2)]=。2⎧3x⎪01}=，则⎪0其它8⎩A=，EX=。2．把10个球掷进四个盒子，设每个球落在每个盒子里的可能性相等，求落在第一个盒子里的球数的数学期望与方差。kα3．设P{X=k}=(α>0,常数),k=0,1,2,?；试求EX,DX。

3、k+1(1+α)4．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的5分钟，25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早上8点的第X分钟到达底层电梯处，且X服从[0,60]上的均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。5．设X服从Γ−分布，其分布密度为⎧βa−1−βx⎪(βx)ex>0p(x)=⎨Γ(a)⎪⎩0x≤0其中a>0,β>0是常数，求EX及DX。6．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为22⎧⎪4xye−(x+y),x>0,y>0p(x,y)=⎨⎪⎩0,其它22试求：（1）EX,DX；（2）E(XY),E(X+Y)7．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为⎧ππ⎪Asin(

4、x+y),0≤x≤,0≤y≤p(x,y)=⎨22⎪⎩0,其它试求：（1）常数A；（2）EX,DX；（3）cov(X,Y),ρ。XY1−x8．设随机变量X的分布密度为p(x)=e,−∞

5、立的正态随机变量，则ρ=0；（）XY（3）若X,Y为正态随机变量，ρ=0，则X,Y独立；（）XY（4）若a,b为常数，则D(aX+b)=aDX；（）（5）若X,Y相互独立，EX=a,EY=b，则E(XY)=；（）2（6）设X与Y独立，并有相同分布N(µ,σ)，令U=αX+βY,V=αX−βY，则相关系数ρ=；UV2（7）设X,Y相互独立，EX=EY=0,DX=DY=1，则E(X+Y+1)=；k−1（8）若P(X=k)=p(1−p),(k=1,2,?)，且EX=2，则p=；−2X（9）若X服从参数为1的指数分布，则E{X+e}=。11．设二维随机变量(X,Y)的分布密度为⎧122

6、⎪,x+y≤1p(x,y)=⎨π⎪⎩0,其它（1）问X与Y是否相互独立？为什么？（2）X与Y是否不相关？为什么？312．设随机变量X与Y相互独立，X~N(0,1),Y~N(0,)，若Z=X−2Y，求EZ与4DZ。13．设X,Y是两个相互独立且均服从同一分布的两个随机变量，已知X的分布律为1P{X=i}=,i=1,2,3，又设ξ=max(X,Y),η=min(X,Y)3（1）写出二维随机变量(ξ,η)的联合分布律；（2）问ξ与η是否相互独立？为什么？（3）问ξ与η是否不相关？为什么？214．设X,X,?,X是独立的随机变量,D(X)=σ<∞试求“权”α,α,?,α，12nii12

7、nnn∑αi=1,αi>0，使∑αiXi的方差最小。i=1i=115．在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数X在400~600之间的概率。216．用卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X（单位：kg）服从N(20,2.5)分布，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000公斤的概率不大于0.05。