Operad及其上的Koszul对偶简介

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1、南开大学硕士学位论文Operad及其上的Koszul对偶简介姓名：孔圆申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：白承铭2012-06摘要Operad理论是最近20年来比较热门的理论，它主要研究的是代数运算之间的关系。使用operad语言就使得人们不再仅仅关注一个具体的代数结构，而是从更高的角度看待代数运算的关系。同时，我们还可以使用operad语言把经典的代数结构上的结论应用到其他代数类型上；与此同时，也大大简化了语言的叙述和证明。现在operad理论已经被广泛的应用于其他理论，例如代数拓扑，微分几何，非交换代数，量子群等等。Koszul对偶性是operad理论中非常重要的性质，

2、也是分析operad的Koszul性的手段。因此本文中着重讲述代数、余代数、operad结构和Koszul对偶性，以及一些重要的例子，有助于读者具体地理解operad的含义。关键字：代数operad，Koszul对偶，pre-Lie代数，余代数AbstractOperadtheoryisveryhotinrecenttwentyyears，whoseobjectsofstudyAretherelationsofalgebraicoperations．Usingtheoperadiclanguage，mathematiciansnotonlyconcentratetOaspecif

3、icalgebraicstructure，butalsoobservetherelationsofalgebraicoperationsagaininahigherviewpoint．Moreover,wecall，withoperad，applytheresultsoftypicalalgebras，suchascommutativealgebraandLiealgebra，toothertypesofalgebras．Meanwhile，theoperadiclanguagesimplifiesboththestatementsandtheproofs．Nowadays，op

4、eradsappearinmanydifferenttheories，suchasalgebraictopology,differentialgeometry,noncommutativealgebra，andquantumfieldtheory,andSOon．Koszuldualitiesplayasignificantroleinoperadtheory,whicharevitalmethodsintheprocessofstudyingKoszulityofopemd．Thus，thisthesisemphasizesalgebra,coalgebra,operadstr

5、uctureandKoszuldualityofthesestructures．Moreover'thisthesisprovidessometypicalexamples，whichbenefitsreaderstOcomprehendconceptsofopemdspecifically．Keywords：Algebraicoperad，Koszuldualityofoperad，pre—Liealgebra，CoalgebraH简介第一章简介弟一早间’rOperad理论最早是作为代数拓扑的工具在上世纪60年代出现于MacL觚e【1】，JimStasheff【2】，J．M．B

6、oardman，R．M．Vogt[3]等人的工作中，70年代PeterMay在文章【4】中给出了正式的定义。之后，在90年代由于发现与图上同调、表示理论、代数几何、Morse理论、knot理论、moduli空间、弦论等的新关系，operad理论出现了一次大的繁荣。随着quadraticduality和Koszulity研究的深入，为研究同伦性质提供了新的手段。Operad是一种代数的手段，它主要研究的是代数的类型和运算之间的关系，而不是某一个具体的代数。Operad的语言有一些优势：首先，一些经典的代数类型的结论用operad语言可以用在其他类型的代数上；第二，它的使用简化了叙述

7、和证明；第三，用operad语言可以在一些经典代数或是已经成熟的领域获得新成果，例如MaximKontsevich的“DeformationquantizationofPoissonmanifolds”，以及在rationalhomotopy理论中Lie代数和交换结合代数对偶被认为与Lieoperad与Cornoperad的Koszul对偶一致的15]16][7]。本篇毕业论文主要是一篇作者关于学习operad理论的读书报告。Operad理论涉及的范围较广，本文主要讨论的是代数o