L_p空间上的随机凸对偶

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1、Lp空间的随机凸对偶任石摘3丈本文用凸分析的一般方法研究护空间(p>l)上的随机最优控制问题，推广Bismllt在尸空间上建立的随机凸对偶理论.通过引入摄动方法，我们得到原问题的最优值与对偶问题的最优值之间的关系.通过引入共极值对的概念，我们得到共极值对(x，功与原问题的最优点x以及对偶问题的最优点夕之间存在一定的关系.最后我们将应用本文所得命题及定理，讨论具体的最优控制问题.关键词:随机最优控制问题，凸对偶，摄动方法，次微分条件，共极值对，随机最大值原理，复制权益的p阶矩最小化问题中图分类号:0231.3StoehastieConvexDualityinLPABS

2、TRACTThispaPer15eoneernedwiththeapplieation、ofgeneralmethodsofeonvexanalysistoprololeznsofoptimalstoeha、tieeontrolinthe、paeeofL尸for尸>1.InpartieularwewilldefinewllatdualProblemsareinoPtimalstoehastieeontrol，andwhattheeoextremalityeonditionoarefordualoPtimums.Themethod、andexpooitionofthe

3、reoultsareverySimilartotheCOrrespondingmethodsusedbyRoekafellar{5」andBismut【2{.In七helastehapterofthispaper，wewillfindapplieationsofoureonelusioli111twoProblemsofoPtimalstoehastieeontrol.Keywords:I)robleiil、ofoptinl氏l、toeh。、tieeollti，01eollj、19:、toeo，Ivex丘llletiollI)el、tlll」)ationrnetll

4、o(1、，e()extl·eizlality，nleazl一vari、、，Ice11e〔1911一9l:)rol)leliiChiiie、eLibl、al、yCla、sifieatioil:()2:J1.:左2第一章引言1970年Rockafellar首先提出了用对偶方法求解确定性情况的最优控制问题.具体可参考!5].而引入对偶方法，就必须借助凸分析这一强大理论.为此，Rockafellal’对被积函数和定义域做了一定限制，要求被积函数具有一定的凸性和正则性，定义域也具有某种凸性.具有这些限制条件的确定性最优控制问题称为Bolza问题.研究原问题和对偶问题之间的关系

5、之后，Rockafellar发现原问题的最优点x和对偶问题的最优点y满足一定的次微分条件，包括Euler一Lagrange条件，Hamiltonian等式和横截面条件，而这些条件构成了确定性情况的最大值原理.RockafeI1al’在该文中的证明是针对Ll空间，同时他通过限制定义域的方法将结论推广到L”空间的，因此定理结论具有广泛的适用性.对于确定性情况最优控制问题解的存在性条件，R。Ckafella:在文中没有展开，可参考他的另两篇论文【9{和【10{.1973年BISnll‘t紧随其后·将R()Cka倒怕r的成果推广到随机隋况.具体可参考叼.但需要特别指出的是，

6、Bi、mtlt只对厂空间做了讨论，该土作为后人解决证券组合策略受限制的投资和定价问题提供了基础工具，细节请参考Shreve和Xu的文章【13}以及Kara七ZaS和Shreve的著作【1」.本文对Rockafellar和Bismtlt的论文进行推广，将结论推广至尸空间(p>l)上的随机情况.通过引入摄动方法，我们得到原问题的最优值与对偶问题的最优值之间的关系，通过引入共极值对的概念，我们得到共极值对(x，功与原问题的最优点x以及对偶问题的最优点梦之间存在一定的关系.即若(x，功是共极值对，则x必是原问题的最优点，万必是对偶问题的最优点.反之不成立，即原问题的最优点x

7、和对偶问题的最优点夕不一定满足共极值对的定义.随机最优控制问题解存在的充分性条件在本文中不详细论述。可参见Bismtlt的另两篇文章【3}和【4].沦文最后一章:我们将用以上所得结沦求解两个具体的随机最优控制问题.第一个问题中，我们对}2}定理5.1所阐述的随机最大值原理进行推广.Bi、111llt针对尸空间证明了随机最大值原理，本文把结论推广到尸空间(p>1)，得到更具有一般意义的随机最大值原理.第二个问题中，我们发现，复制权益的p阶矩最小化问题满足本论文定理4.3的假设条件，因此能利用该定理一讨论该问题.本论文的主要构架如下:在第一章中，我们介绍了论文写作的