L_p空间上依测度收敛与依范数收敛的关系.pdf

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1、第26卷第1期天津师范大学学报(自然科学版)Vol.26No.12006年3月JournalofTianjinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Mar.2006文章编号:167121114(2006)0120052203pL空间上依测度收敛与依范数收敛的关系赵华新,张萍(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000)p摘要:L空间中的函数列{fn(x)}依测度收敛与依范数收敛的基本关系是:依范数收敛可推出依测度收敛,但逆命题不成立.本文在依测度收敛的基础上,加上必

2、要的条件fn(x)≤fn+1(x)a.e于E且‖fn‖p→‖f‖p或为{f,f1,f2,⋯}为一致可积族,使得依测度收敛能够推出依范数收敛.p关键词:L空间;依测度收敛;依范数收敛中图分类号:O177文献标识码:ATheRelationshipBetweenConvergenceinMeasurepandConvergenceinNorminLSpaceZHAOHua2xin,ZHANGPing(CollegeofMathematicsandComputerScience,Yan'anUniversity,Yan

3、'an716000,ShanxiProvince,China)Abstract:Thefundamentalrelationshipbetweenconvergenceinmeasureandconvergenceinnormofse2pquenceoffunctions{fn(x)}inListhatconvergenceinnormisabletodeduceconvergenceinmeasure,however,theinversepropositionisfalse.Thispapershowsconv

4、ergenceinmeasure,togetherwithneces2saryconditionfn(x)≤fn+1(x)a.einEor{f,f1,f2,⋯}uniformlyintegrablefunctionscandeducecon2vergenceinnorm.pKeywords:Lspace;convergenceinmeasure;convergenceinnorm显然,{fn(x)}在[0,1]上处处收敛于零,但是当1预备知识n→∞时,对于任何的正数p1在实变函数与泛函分析中,有很多种收敛性,如1

5、n1ppnpn∫fn(x)dx=∫edx=e→∞,(n→∞)一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛、强收敛、弱收00n敛、依范数收敛,等等.这些收敛之间的关系又是怎所以,{fn(x)}并不依范数收敛于零.样的呢?Egoroff定理给出了几乎处处收敛与一致收由此,本文考虑在什么条件下,这个定理的逆命敛的某种关系;F.Riesz定理给出了几乎处处收敛题成立,即由依测度收敛可以推得依范数收敛.p与依测度收敛的某种关系,文献[1]中给出了在L在本文中,设(X,R,u)是一个测度空间,E∈R,空间上依范数收敛推得依测度收敛的定

6、理,而这个f(x)是E上的实值函数,取定正数p,设f(x)是E上p定理的逆命题是不成立的.例如,我们作闭区间的可测函数,而且f(x)在E上是可积的.这种函pp[0,1]上的函数列{fn(x)}如下:数的全体记为L(E,R,u),简记为L(E,u).当11p=1时,L(E,u)就是E上的可积函数全体.0,当x=0或≤x≤1pf(x)=n‖·‖p记为L上的范数,“]”为依测度收敛,nn1一致e,当0

7、华新(1964-),男,陕西省延长人,副教授,硕士,硕士研究生导师,主要从事应用泛函分析领域的研究.p第26卷第1期赵华新,等:L空间上依测度收敛与依范数收敛的关系·53·[2]p1定义1对L(E,u)中每个向量f(x),由εp1n>N2时,有fn-f<,所以p8k‖f‖=pdx(p≥1)p∫f(x)Epfn(x)-f(x)dx

8、k4p∫fn(x)-f(x)du→0,n→∞.而在Eδ上,由于mEδ<δ,由积分的绝对连续性知Eε这种收敛在经典分析中称为f(x)在E上p方平均pdx<(4)n∫fn(x)-f(x)Eδ4收敛于f(x).所以,取N=max{N1,N2},当n>N时,有式(2),2主要结果(3),(4)成立,所以ppf(x)-f(x)dx=引理1设f,fn∈L(p≥1),fn→fa.e于E