4-4依测度收敛.ppt

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1、n重点：理解依测度收敛概念，掌握Lebesgue定理与Riesz定理n难点：Lebesgue定理与Riesz定理及其证明上一页下一页主页返回退出定义1设f和{fn}是E上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意σ>0，有limmE[

2、ff

3、]0nn则称函数列{fn}依测度收敛于f，或度量收敛于f记为：fn(x)f(x)．用ε－N语言:0,0,N(,)0,nN,mE[

4、ff

5、].n如果事先给定一个0,无论有多小，满足

6、fn(x)f(x)

7、的点x可能很多，但这些点所成

8、之集合的测度随着n无限增大而趋于0.上一页下一页主页返回退出例1存在依测度收敛而处处不收敛的函数列．取E=(0,1],将E二等分,定义两个函数：1,x(0,12],(1)f1(x)0,x(12,1].0,x(0,12],(1)f2(x)1,x(12,1].然后将E四等分、八等分等等,一般地对每个n，n定义2个函数：上一页下一页主页返回退出j1j1,x(,],nn(n)22nfj(x)j1,2,,2.j1j0,x(,].nn22(n)n把{fj(x),j1,2,,2}先

9、按n后按j的顺序逐个地排成一列：(1)(1)(2)(2)(2)(2)f(x),f(x),f(x),f(x),f(x),f(x),121234(n)(n)(n),f1(x),f2(x),,f2n(x),可以证明这个函数列依测度收敛于0而处处不收敛．上一页下一页主页返回退出例2几乎处处收敛而不依测度收敛的函数列．取E=(0,+∞),作函数列：1,x(0,n]fn(x)n1,2,.0,x(n,),则fn(x)→1,但fn(x)不依测度收敛于1．因为当0

10、fn–1

11、>a]=(n,+∞）

12、而m(n,+∞)=+∞上一页下一页主页返回退出定理1（黎斯F.Riesz）设在E上{fn}测度收敛于f，则存在子列{fn}在E上几乎处处收敛于f．k证由fn(x)f(x)．则对任意σ>0，有limmE[

13、ff

14、]0nn11于是对任何正整数j,令σ,,存在正整数jj22nj，使11mE[

15、ff

16、],j1,2,,njjj221记EE[

17、ff

18、].不妨设nn.jnjj122下面证明：子列{fn}在E上几乎处处收敛于f．k上一页下一页主页返回退出取F(EE).kjjk1由于E

19、EE[

20、ff

21、],jnjj21所以FkE[

22、fnjf

23、j,jk,k1,].2因此在Fk上，limf(x)f(x).njj令FFk.k1则在F上，有limf(x)f(x).njj上一页下一页主页返回退出下面证明：m(EF)0.F(EE).kjjk由于EFEFk(EFk)Ej.k1k1k1jk于是m(EF)m(Ej)m(Ej)mEjk1jkjkjk11j0(k).mEj12jj

24、kj1j12证毕．上一页下一页主页返回退出定理2（勒贝格Lebesgue）设⑴mE<∞；⑵{fn}是E上几乎处处有限的可测函数列；⑶{fn}在E上几乎处处收敛于几乎处处有限的函数f，则fn(x)f(x)．此定理说明，在条件mE<∞下，几乎处处收敛蕴含了依测度收敛．上一页下一页主页返回退出证由§2的引理，对任意的ε>0有limm(E[

25、fmf

26、])0.nmn于是limmE[

27、ff

28、]0,nn所以f(x)f(x).n上一页下一页主页返回退出依测度收敛函数列极限的唯一性．定理3设fn(

29、x)f(x)，fn(x)g(x)，则f(x)=g(x)a.e.于E．上述定理说明：依测度收敛的可测函数序列在几乎处处相等意义下有唯一的极限．上一页下一页主页返回退出证由于

30、f(x)g(x)

31、

32、f(x)f(x)

33、

34、f(x)g(x)

35、,kk所以1E[

36、fg

37、]n11E[

38、ff

39、]E[

40、fg

41、],kk2n2n1从而mE[

42、fg

43、]n11mE[

44、ff

45、]mE[

46、fg

47、],kk2n2n令k→∞，得1mE[

48、fg

49、]0.n上一页下一页主页返回退出因为1E[fg]E[

50、f

51、g

52、],n1n所以mE[fg]0,于是f(x)=g(x)a.e.于E．上一页下一页主页返回退出1例3设ER，f是E上几乎处处有限的可测函数1证明：存在定义在R上的连续函数列{gn}，使得limg(x)f(x)a.e.于E.nn证由鲁津定理，对任何正整数n,存在可测子集EnE，使得m(EE)1,nn1且存在R上