M2(×)M2上保持张量积数值域的映射

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1、§’k．‘’≈’}?a”-·+．·’o一：t‘4：-一。g二，s：．jtt，．々‘．15，‘·、。。。，；“、太原理工大学硕士研究生学位论文MAPSPRESERVINGNUMERICALRANGEOFTENSORPRODUCTSONM2O％ABSTRACTLet卫：M2(C)oAh(C)—，M2(C)o％(c)bealinearmap．Itisshownthat皿satisfiesW(q2(A@B))=W(AoB)forallAoB∈M2(C)o尬(c)ifandonlyifthereisaunitarymatrixU∈M4(C)suchthat皿(x)=u矽(x)u+fo

2、rallX∈A如(c)oM2(C)，where矽isoneofthefollowingmaps：theidentity,thetranspose，id0TandT0idwithTthetransposemap．KEYWORDS：numericalrange，tensorproduct，linearmap太原理工大学硕士研究生学位论文lVjI●，1】l●jjjj日ⅪⅧa太原理工大学硕士研究生学位论文目录第一章前言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(1)第二章预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(3)第三章主要结果及其证明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(5)参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．(25)致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．(29)攻读学位期间发表的学术论文⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(31)太原理工大学硕士研究生学位论文主要符号表含义复数域Hilbert空间或者一个矩阵日的对偶空间Hilbert空间日上的有界线性算子全体酉算子恒等算子算子A的转置算子A的伴随算子A的数值域算子A的数值域半径算子A的值域A和B的张量积错c日∥㈣u，∥∥荆删酬～～—．奎垦里三盔兰堡主婴窒生堂垡堡塞!VIII太原理工大学硕士研究生学位论文第一章前言线性保

4、持问题是研究算子代数上保持某个同态不变量的线性映射的刻画和分类的问题，是矩阵理论、算子理论和算子代数的一个很活跃的研究领域．在许多类型的算子代数上，保持谱，保持数值域，保持数值半径等的线性映射已得到完全的刻画．算子的数值域是在理论及应用方面都非常重要的概念，并且已有广泛的研究．令日是复数域C上的Hilbert空间并且B(H)是日上有界线性算子全体．我们记算子A∈B(H)的数值域为Ⅳ(A)，其定义如下：W(A)={(Az，z)：X∈H，(X，z)=1]l‘A∈13(H)的数值域半径为伽(A)，其定义如下：w(A)=s“p{IzJ：z∈T矿(A))数值域和数值半径的概念及其推广

5、已经被广泛深入的研究(见[1-6】及其参考文献)．很多学者研究了矩阵或算子代数上保持数值域和数值域半径的线性映射的刻画问题(见[7—26]及其参考文献)．设西是B(H)上的映射．如果对任意的A∈嚣(日)，西满足Ⅳ(圣(A))=w(A)，我们就说圣保持数值域．在文献[27】中，Omladi6证明了B(H)上的保持数值域的线性满射具有下列形式：或者对任意A∈B(H)有A—UAU+，此处U∈B(H)是一个酉算子；或者对任意A∈B(H)有A—UA+U+，此处U∈B(H)是一个反酉算子．在文献[28】中J．T．Chaa证明了B(H)上的保持数值域半径的线性满射具有下列形式：或者对任意

6、A∈B(H)有A一#UAU+，此处U∈B(H)是一个酉算子，川=1；或者对任意A∈B(H)有A一#UA+U+，此处U∈B(H)是一个反酉算子，川=1．在量子力学和量子信息理论中，数值域的概念有着重要的应用，而张量积结构又是量子力学和量子信息的基本结构([29】及其参考文献)．因此，研究如下问题是有意义的：如何刻画保持算子张量积的数值域的映射?本文主要研究此类问题．作为起步，我们从两个量子比特的复合系统开始，即刻画M2(C)oM2(C)上的保持算子张量积数1太原理工大学硕士研究生学位论文值域的线性映射，其中M2(C)表示复数域C上2×2矩阵代数．我们证明了线性映射皿：^龟(c

7、)o尬(c)一A龟(C)oM2(C)对任意简单张量积AoB∈M2(c)oM2(C)满足W(eg(AQB))=W(AoB)当且仅当存在酉矩阵U∈尬(c)满足或者对任意x∈尬(c)oM2(C)有皿Ⅸ)=UXU+，或者对任意X∈A龟(c)@A龟(c)有Ⅲ(x)：UX‘U+，或者对任意X∈尬(c)o％(c)有V(X)=U((id@T)(x))U+，或者对任意X∈M2(C)④M2(C)有皿(x)=矿((T@id)伍))V+，其中x‘表示x的转置而(Toid)相对于张量基第一部分的偏转置，即，(Toid)定义为(T@id)(A