Helmholtz方程在不光滑区域上Dirichlet问题解的存在与唯一性

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2、可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。作者签名：蒋嗣乌日期：zo白占午6月／日糊张罗，k日期：吐午6月。日本人已经认真阅读“CALIS高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的学位论文提交“cALIs高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的规定享受相关权益。回塞迨塞握銮厦进匡；旦圭生；旦二生；旦三生筮盔!作者签名：话哟日期．p舻’占月『日导师签名Z，卜一，日期：彳年／月硼⑧硕士学位论文MASTER’STHESIS1引言对于Helmholtz

3、方程△“+女2u=0，，m≈≥0的边值问题的研究引起了很多人的关注．因为该问题与障碍物的声波的散射与逆散射问题密切相关．随着对这类问题的不断深入研究，很多新的方法和思路被引入其中．如位势理论，边界积分方程理论等在这类问题中得到了相当广泛的应用．文章[1】对应用位势理论解决在光滑区域上Helmholtz方程的边值问题有很完备的阐述，在文章12】和【3】中也有涉及．本文所应用的方法的主要思路与fl】是比较接近的．应该说对于光滑区域上Helmholtz方程的边值问题的研究是很深入的，得到的结果也是比较充分的．但对于一般边界上特另q是Li

4、p8chitz区域上Hehnholtz方程解的存在及唯一性还有许多问题值得进一步的探讨，这也是当前对这类问题研究的热点．在该问题的研究上已经取得了很大的进展，也得到了很多不错的结果．如B．Dahlberg和K∞ig在『61中对Laplace方程在Li碑chitz区域上的p一Ⅳet‘m∞n问题的研究得到了很好的结果．还有文章【7】和[81中M．Mitrea和R．H．Torres也得到了一些不错的结果．应用边界积分方程和F嘲holm选择性定理解决此类问题的方法一般是先构造方程具有位势形式的解，然后再利用位势在边界的跳跃条件及方程的边界

5、条件得到与原方程对应的边界积分方程．利用胁dholm选择性定理得到相应边界积分方程解的唯—性从而得到原方程解的存在性．正如本文开头所述，解决Helmholtz方程边值问题对研究有障碍物的声波的散射与逆散射阿题非常重要．在反问题当中有一类研究方向也是当前反问题研究的热点即边界定位问题．在这类问题中，我们从不同方向向某一待测物体发射声波，通过反射回来的声波的信息来确定待测物体的形状．我们将这一物理方法抽象成数学模型z假设发射的声波为时间调和声波矿(z，t)=Re{u(z)eo“)，传播媒介为密度均匀媒介．在这种情况下，u(x)遵循He

6、lmholtz方程．那么上述方法可归结为方程的边值问题；△珏+南。u=O，z∈R2＼豆札=，，o∈Dnlim，．。～厅(警一i％u)=o，m≈≥0相应的反问题探讨的是已知解u(即为各个方向的散射声波)和边值条件(这里反映的是待测物体边界的物理性质)，求边界an的问题．因此先弄清楚u的性质(即对相应正问题的探讨)对最终解决这类反问题是有很大帮助的．由于待测物体多为不规则物体，因此研究}felmholtz方程在不光滑区域上解的性质如存在性，唯一性，提高解的正则性对研究相应反阅题及进行数值模拟都有很大推动作用．⑧硕士学位论文MASTER

7、’STHESTS在本文中我们主要考察边界含尖点区域上Helmholtz方程D试chlet问题解的存在及唯—性．与光滑区域不同的是，对于边界含尖点区域，我们假设它的边界是分段光滑的，即连接尖点与尖点之间的弧是光滑的，而在尖点处法向导数是不连续的．如果应用位势理论构造方程的解，例如“=厶咖)帮蛐)胙R2＼而这里圣(z，”)表示Helnllloltz方程的基本解．由于2詈g挚在尖点处不连续，所以由(1)式通过位势跳跃条件得到的第二类边界积分方程的积分算子是非紧的．这样就不能直接应用F锄holIn定理．在本文中为了克服这一困难，主要运用两

8、个手段t首先对于尖点处的位势跳跃条件做一定的修正，其次这也是本文中比较重要的想法。即将非紧的积分算子分成紧的与有界的两部分A+B，并且证明有界算子A满足IIA0