Finsler流形上的某些刚性定理

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1、SomeRigidityTheoremsonFinslerManifoldsMajor：Speciality：Supervisor：Name：BasicMathematicsDifferentialGeometryProf．ChengXinyueZengWeiweiAbstractInthisDaperwestudysomerigiditytheoremsonFinslermanifolds．FirstlywecharacterizeFinslermetricswithrelativelyisotropicmeanLandsbergcu

2、rvature．ItisshownthatFinslermetricswithnon—zeroconstantrelativelyisotropicLands—bergcurvaturefresp．meanLandsbergcurvature)undertheconditionsthattheFinslermetricsarecompleteandtheCartantorsion(resp．meanCartantorsion)areboundedInustbeRiemannian．Furthermore，anecessarycondit

3、ionforFinslermetricswithgeneralizedrelativelymeanisotropicLandsbergcurvaturetobeRiemn—nianarefound．SecondlyweconsidergeneralizedLandsbergmetricswithnon—zerosectionalflagcurvature．WeprovethatsuchkindsofRandersmetricsmustbeRie—mannian．WealsoprovethatsuchkindsofFinslermetri

4、cswithnon—zerorelativelyisotropicLandsbergcurvaturemustbeRiemannian．Thirdlywecharacterizegen—eralizedL—reducibleFinslermetrics．WeinvestigatesomenecessaryconditionsthatageneralizedL—reducibleFinslermetricisaRandersmetric．FinallyweconsidercompactFinslermanifoldswithnegativ

5、eflagcurvature．Weobtainsomerigidityre—sultsthatacompactFinslermanifoldwithnegativeflagcurvaturesatisfyingcertainRiemanncurvatureconditionmustbeaRiemannianmanifold．keywords：Finslermetric；Cartantorsion；Landsbergcurvature；Flagcurva—ture；Randersmetric1l西南大学硕士学位论文第1章引言第1章引言Fi

6、nsler几何就没有二次型限制的Riemann几何．Finsler几何的最初概念可以追溯到Riemann的著名论文{{UberdieHypothesen，welchederGeometriezugrndeliegen}．1854年，德国数学家Riemann在著名的就职演说“论作为几何学基础的假设”提出了微分几何的度量可以用二次形式的平方根来定义，或用四次微分形式的四次方根来定义．后来，他进一步引进了一类基于弧长元素ds=F(x，dx)的度量几何f最初叫广义度量空问理论)．这就奠定了Riemann几何的基础．1918年，Finsler在哥

7、廷根大学完成他的博士论文中，研究了广义度量，引入了所谓的基本张量和gij(X，Y)=j丽OF2和C张量(现在称为Cartan张量)CiMx，Y)=；垃Oyk，讨论了基本变分定义度量的一般原则，并由此研究了这类空间中的曲线和曲面的性质．Finsler几何由此得以命名．由于许多几何学家对Finsler几何的认识不足，他们片面地认为Finsler几何是Riemann几何的推广，仅仅致力于把Riemann几何的结果推广到Finsler几何，却忽略了对Finsler几何中那些非Riemann几何量(即在Riemann流形为零的几何量1的认识和研究

8、，Finsler几何的发展经历了漫长的时期．幸好自从上世纪九十年代以来，在数学大师陈省身先生的大力倡导和鼓励下，在美籍华人数学家沈忠民以及D．Bao的带领下，人们克服了Finsler几何以张量作为研究工具的