三角函数的图像和变换以及经典习题和答案

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1、3.4函数的图象与变换【知识网络】1．函数的实际意义；　　　　　　２．函数图象的变换（平移平换与伸缩变换）【典型例题】［例1］(1)函数的振幅是；周期是；频率是；相位是；初相是．　　　　（１）；　；；　　　（2）函数的对称中心是；对称轴方程是；单调增区间是．　　　　（２）；；(3)将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A．B．C．D．（３）C提示：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以．　　　(4)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）（A）

2、向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）11（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（４）C先将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图像(5)将函数的图象向右平移个单位后再作关于轴对称的曲线，得到函数的图象，则的表达式是　　　　（　　）（A）（B）（C）（D）（５）B提示:的图象关于轴对称的曲

3、线是,向左平移得［例2］已知函数，若直线为其一条对称轴。（1）试求的值（2）作出函数在区间上的图象．解：（1）是的一条对称轴（2）用五点作图［例3］已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）．（I）求；（II）计算．解：（I）的最大值为2，.11又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，.过点，又.（II），.又的周期为4，，［例4］设函数（其中）。且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值．解：（I）　　　　依题意得．　（II）由（I）知，．又当时，　　　　，故，从而在区间上的最小值为，故【课内练

4、习】1.若把一个函数的图象按（，－2）平移后得到函数11的图象，则原图象的函数解析式是　　　　　　　（　　　）（A）（B）（C）（D）１．D提示：将函数的图象按平移可得原图象的函数解析式2．为了得到函数y=sin（2x－）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度２．B提示：∵y=sin（2x－）=cos［－（2x－）］=cos（－2x）=cos（2x－）=cos［2（x－）］，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度3．若函数f（x）=sin（ωx+）的图象（部分）如下图所示，则

5、ω和的取值是（）A.ω=1，=B.ω=1，=－C.ω=，=D.ω=，=－３．C提示：由图象知，T=4（+）=4π=，∴ω=.又当x=时，y=1，∴sin（×+）=1，+=2kπ+，k∈Z，当k=0时，=.4．函数的图象向右平移（）个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（）以上都不对４．A提示：平移后解析式为，图象关于对称，∴（），∴（），∴当时，的最小值为．5．若函数图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿轴向右平移个单位，向下平移3个单位，恰好得到的图象，则．11５．．６．函数为奇函数的充要条件是　　　　　　　　；为偶函数的充要条件

6、是　　　　　　　　　　　　　　　．６．　；7．一正弦曲线的一个最高点为，从相邻的最低点到这最高点的图象交轴于，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为.７．８．已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解，求k的取值范围解：原方程sinx+cosx=ksin（x+）=k，在同一坐标系内作函数y1=sin（x+）与y2=k的图象.对于y=sin（x+），令x=0，得y=1.∴当k∈［1，］时，观察知两曲线在［0，π］上有两交点，方程有两解9．数的最小值是-2，其图象相邻最高点与最低点横坐标差是3p，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。解：易知：A=2半周期∴T=

7、6p即从而：设：令x=0有又：∴∴所求函数解析式为10．已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，并当x=时，.（1）求f（x）.（2）在闭区间［，］上是否存在f（x）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由.解：（1）由由题意可得解得11（2）令所以由得所以在［，］上只有f（x）的一条对称轴x=作业本A组1．将函数的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是（）（C）（D）１．A２．已知函数在同一周期内，当时，取得最大值，当时