二元一次方程组和实际问题（行程问题）

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1、8.3实际问题和二元一次方程组（行程问题）一、教学目标知识与技能：能够把行程问题抽象为数学问题，找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组。过程与方法：经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的有效数学模型。情感态度与价值观：在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。二、教学重难点教学重点：在行程问题中快速而准确的找出相等关系。教学难点：上下坡问题和相向而行同向而行问题中相等关系的寻找。三、教学过程（一）复习回顾，引入新课1、用二元一次方程组解

2、决实际问题的步骤是什么？答：(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系；(2)设元：用字母表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据两个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.2、行程问题中常见的数量关系有哪些？答：基本数量关系：路程＝速度×时间速度＝路程÷时间时间＝路程÷速度船在顺水中的速度＝船在静水中的速度＋水流的速度船在逆水中的速度＝船在静水中的速度－水流的速度设计意图：用提问引导的形式对之前学过的用二元一次方程组解决实际问题的步骤和行程

3、问题中常见的数量关系进行复习回顾，为解决本节课的难点——找到实际问题中的相等关系做好准备，打下基础。（二）新课讲授，对应训练本部分分为三个例题，也是行程问题中的三个基本题型。主要采用例题讲解加上对应练习的形式来进行新课讲授，关键点落在习题的练习上。例1两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。分析：涉及到顺水航行和逆水航行的问题，首先要想到相关的数量关系，即船在顺水中的速度＝船在静水中的速度＋水流的速；船在逆水中的速度＝船在静水中的速度－水流的速度。审题过后得出结论，三个基

4、本量中已知时间和路程，所以要想办法表示出速度，可利用船在静水中的速度和水流速度进行表示，所以把这两个未知量设为未知数。解：设船在静水中的速度是xkm/h，水流的速度是ykm/h。速度（单位：km/h）时间（单位：h）路程（单位：km）顺水航行（x+y）14280逆水航行（x-y）2028014（x+y）=28020（x-y）=280根据路程=速度×时间得到两个相等关系，列出方程组：x=17y=3解方程组：得答：船在静水中的速度是17km/h，水流速度是3km/h。练习1A地至B地的航线长9750千米，一架飞机从A地顺风飞往B地需1

5、2.5小时，它逆风飞行同样的航线需13小时。求飞机无风时的平均速度与风速。本题请两位同学上台演版，列出方程即可，其他同学在下面独立完成。设计意图：此题是三种题型中相对简单的，所以所花时间并不需要太多，主要是再一次强调顺水航行逆水航行的速度公式，加强对速度、时间、路程的关系在具体题目当中的应用。例2小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？分析：行程问题中如果题目条件比较复杂，较

6、好的方法是利用示意图来帮助学生们分析条件，能够更直观的进行相等关系的分析。其中对单位这一点进行必要的提醒，分析条件前先观察题目中各单位是否一致，如果不一样需要先进行换算。本题的单位是一致的，所以下面直接利用示意图来帮助大家分析条件。根据示意图可知：小华家到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.学校到小华家的路分为两段，一段为平路，一段为上坡路.结合题目可得：走平路的时间+走下坡的时间=___10___，走上坡的时间+走平路的时间=___15____．以上则为两个相等关系。相等关系中要想求得时间，必须要知道速度和路程，由题目已

7、知速度，所以平路的路程和坡路的路程是需要的两个未知量，可设为未知数。（本题问题是求一个量，也就是家到学校的路程，所以不能直接设，但是通过示意图也可以知道从家到学校的整个路程可以分为两个部分，即以拐点为分界线，分为平路的路程和坡路的路程，所以虽然问题只问了一个量也是可以通过分析设出两个未知数的。）方法一（直接设元法）解：设小华家到学校平路长xm，下坡长ym.平路时间坡路时间总时间上学x60y8010放学x60y4015x60+y80=10x60+y40=15根据题意，可列方程组：x=300y=400解方程组，得所以，小明家到学校的距

8、离为300+400=700米.答：小明家到学校的距离为700米.看图分析条件也可以知道从家到学校和从学校到家的过程中平路的路程和坡路的路程是不变的，只有速度和时间的变化，所以根据路程是定值也可以得到两个相等关系。即：从家里到学校的平路的路程=从学校