数学人教版八年级上册含图形变换的全等探究

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1、含图形变换的几何综合题探究（全等）一、复习回顾1．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，若∠C=，则∠ADB=______．2．如图2，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中点，则AD的取值范围为__________．例：已知：在中，，在中，，连接，取的中点，连接和．（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，探索、的关系并给予证明； （2）如果将图①中的绕点逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．解：（1）与的关系是：，．理由如下：，即：，（2）解法一

2、：（中线倍长法）延长至，使得，连接，，延长交于．又又解法二：（构造中位线法）取的中点，取的中点，连接，，，．是的中位线，是的中位线，，又又即解法三：（旋转法）连接，将绕点逆时针旋转至，则点旋转至点，点旋转至点，则，，，又，三点共线是的中点练习1．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、

3、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．解：(2)图2的结论为：CF＝OE＋AE.图3的结论为：CF＝OE－AE.选图2的结论证明如下：延长EO交CF于点G.∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF.∴∠EAO＝∠GCO.∵∠EOA＝∠GOC，OA＝OC，∴△EOA≌△GOC.∴EO＝GO，AE＝CG.在Rt△EFG中，∵EO＝GO，∴OE＝OF＝GO.∵∠OFE＝30°，∴∠OFG＝90°－30°＝60°，△OFG是等边三角形．∴OF＝FG.∵OE＝OF，∴OE＝FG，∵CF＝FG＋CG，∴CF＝OE＋AE.选图3

4、的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G.∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF.∴∠AEO＝∠G.∵∠AOE＝∠COG，OA＝OC，∴△AOE≌△COG.∴OE＝OG，AE＝CG.在Rt△EFG中，∵OE＝OG，∴OE＝OF＝OG.∵∠OFE＝30°，∴∠OFG＝90°－30°＝60°.∴△OFG是等边三角形，∴OF＝FG.∵OE＝OF，∴OE＝FG.∵CF＝FG－CG，∴CF＝OE－AE.2．如图1，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD.(1)猜

5、想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；(2)现将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°)，得到图2，AE与MP，BD分别交于点G，H.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；解：(1)PM＝PN，PM⊥PN.(2)成立，证明如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD.又∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BHO＝∠ACO＝90

6、°.∵点P，M，N分别为AD，AB，DE的中点，∴PM＝BD，PM∥BD，PN＝AE，PN∥AE.∴PM＝PN，∠MGE＝∠MPN，∠MGE＋∠BHA＝180°.又∵∠BHA＝90°，∴∠MGE＝90°.∴∠MPN＝90°.∴PM⊥PN.∴(1)中的结论成立．3．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△AC

7、N为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．（1）证明：如图1，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M为DE的中点，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∠MAD＝∠MNE，∠ADM＝∠NEM，DM＝EM，∴△ADM≌△NEM，∴AM=MN．∴M为AN的中点．（2）证明：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE＋∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠N

8、EA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°－∠CB