4.7 函数的渐近线

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1、4.7函数的渐近线当前讲授　　下面是一些我们非常熟悉的基本初等函数的图形．它们分别是反比例函数、指数函数、、对数函数、正切函数和反正切函数的图形．当前讲授　　　　请同学们对照图形，发挥想象力，思考两个问题：　　1、“函数的渐近线”这一说法从字面上顾名思义，可理解为函数曲线可以无限去趋近的直线．按照这样的理解，以上这些函数曲线有没有渐近线呢？　　2、如果你认为上面给出的曲线有渐近线，你觉得应该用什么样的数学语言去描述比较确切呢？　　定义1　考察函数在某个点处的极限．如果函数在该点的极限（或左极限，或右极限）为无穷大，则称直线是曲线的铅直渐近线．　　定义2　考察函数当自变量趋于无穷大时的极限．如

2、果极限为某常数C，即（或，或），则称直线为曲线的水平渐近线．　　简言之，在自变量的某个变化过程中，曲线上的动点与某条直线的距离趋于零，那么这种直线叫做该曲线的渐近线．　　反比例函数  　　因为，所以直线即轴是函数的铅直渐近线．因为，所以直线即轴是函数的水平渐近线．　　指数函数 　　因为，，所以直线是指数函数、的水平渐近线．　自然对数函数 　　因为，所以直线即轴是对数函数的铅直渐近线．　　正切函数 　　因为，，所以直线，都是正切函数  的铅直渐近线．　　反正切函数　　因为，，所以直线，都是反正切函数的水平渐近线．　　典型例题 　　例4.7.1 求曲线的渐近线．　　解: 　　首先考察函数有无水平

3、渐近线．　　∵，∴曲线有水平渐近线．　　其次考察曲线有无铅直渐近线．　　因为 ，有间断点和．　　∵，　∴是曲线的铅直渐近线．　　∵，　∴是曲线的铅直渐近线．　　例4.7.2　求曲线的渐近线．　　解　函数的定义域为．　　首先考察函数有无水平渐近线．　　∵，　∴曲线有水平渐近线．　　其次考察函数有无铅直渐近线．　　∵，　∴曲线有铅直渐近线．